2010　西南学院大学　法，人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1

(1)　$p$を実数の定数とする．$x$に関する次の$2$つの方程式

$x^2+px+3p+9=0$

$x^2-7x-p^2-7p-12=0$

が$1$つ以上の共通解をもつとき，その共通解は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}\pm \sqrt{\boxed{\text{イウ}}}}{2}}$あるいは，$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

1

(2)　$a\text{，}b$を正の定数（ただし，$a>b$）とし，$ab=7$とする．方程式${\displaystyle \frac{b}{2x-a}}-{\displaystyle \frac{a}{2x-b}}=0$の解が$x=3$ならば，$a=\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

【１】

2　$1$から$9$までの数字を$2$つずつ書いた$9$枚のカードが袋の中に入っている．この中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，

(1)　$1$枚が$2$以下で，$2$枚が$7$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(2)　最小の数が$2$以下で，最大の数が$7$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$である．

(3)　最大の数が$7$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．

【２】

1

(1)　$0°\leqq \theta \leqq 90°$のとき，$4{\sin }^2\theta +2(1+\sqrt{3})\cos \theta -(4+\sqrt{3})=0$を満たしている．このとき，$\theta =\boxed{\text{テト}}°\text{，}\boxed{\text{ナニ}}°$である．ただし，$\boxed{\text{テト}}°<\boxed{\text{ナニ}}°$とする．

【２】

1

(2)　$0°\leqq \theta \leqq 90°$のとき，$\tan \theta ({\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}-3)+3=0$を満たしている．このとき，$\theta =\boxed{\text{ヌネ}}°\text{，}\boxed{\text{ノハ}}°$である．ただし，$\boxed{\text{ヌネ}}°<\boxed{\text{ノハ}}°$とする．

【２】

2　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，

$a_{n+1}=-a_n-15b_n\text{，}{b}_{n+1}=a_n+7b_n\text{，}{a}_1=-1\text{，}{b}_1=1$

で定義される．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_3==-\boxed{\text{ヒフ}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{ヘホ}}$である．

(2)　$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha \text{，}\beta$を求めると，$(\alpha ,\beta )=(\boxed{\text{マ}},\boxed{\text{ミ}})\text{，}(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}})$となる．ただし$\boxed{\text{マ}}<\boxed{\text{ム}}$である．

(3)　一般項を求めると，$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}\cdot {\boxed{\text{ヤ}}}^n-\boxed{\text{ユ}}\cdot {\boxed{\text{ヨ}}}^n}{2}}\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ラ}}}^n-{\boxed{\text{リ}}}^n}{2}}$となる．

【３】　$xy$平面上の$3$点$(0,-13)\text{，}(1,-6)\text{，}(3,2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．