2010　福岡大学　人文・商学部前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2+(a+1)x+a^2=0$が異なる$2$つの実数解をもつとする．このとき，定数$a$がとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$であり，さらに，$2$つの実数解の差が整数になるように定数$a$の値を定めると$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$a>0\text{，}b>0$とする．放物線$y=2x^2-2ax+2b+1$を$C_1\text{，}$放物線$y=x^2-(3b-1)x+a$を$C_2$とする．放物線$C_1$と$C_2$の頂点の$x$座標が等しいとき，$b$を$a$を用いて表すと，$b=\boxed{\text{(3)}}$である．さらに放物線$C_1$と$C_2$の頂点が一致するとき，頂点の座標$(x,y)$を求めると$(x,y)=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　白玉$4$個，赤玉$3$個，青玉$2$個が入っている袋がある．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した$2$個の玉の色が異なる確率は$\boxed{\text{(5)}}$であり，取り出される白玉の個数の期待値は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a>0$とする．点$\mathrm{A}(a,a)$と直線$y=3x$との距離を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{(1)}}$である．また，点$\mathrm{A}$を中心とし原点$\mathrm{O}$を通る円と，直線$y=3x$との原点とは異なる交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{OP}=\sqrt{2}$ならば$a=\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　関数$y=\sin x\cos x-{\sin }^{2}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi )$は$x=\boxed{\text{(3)}}$のとき最小値をとる．また，$y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$となる$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)=x^3-3x\text{（}x\geqq 0\text{），}$関数$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{f}^{\prime }(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフが直線$y=9x+k$と点$(a,f(a))$で接するとき，$k$および$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　放物線$y=g(x)$を$C$とし，直線$y=b\text{（}0<b<3\text{）}$を$l$とする．放物線$C$と$y$軸および直線$l$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}C$と直線$x=2$および$l$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1=S_2$となるように定数$b$の値を求めよ．