2010　福岡大学　商学部センタープラス

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\alpha ={\displaystyle \frac{2+3i}{1+i}}\text{，}\beta ={\displaystyle \frac{2-3i}{1-i}}$とするとき，$\alpha \beta$と$\alpha +\beta$の値を計算すると，$\alpha \beta =\boxed{\text{(1)}}\text{，}\alpha +\beta =\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CD}=1\text{，}\mathrm{DA}=5$のとき，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とすると$\cos \theta =\boxed{\text{(3)}}$である．また，この円の半径は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君がゲームをする．$1$回のゲームで$\mathrm{A}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}\mathrm{B}$君が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$引き分けの確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．このとき，$5$回のゲームのうち$\mathrm{A}$君が$2$勝する確率は$\boxed{\text{(5)}}$であり，$5$回のゲームのうち$\mathrm{A}$君が$2$勝，$\mathrm{B}$君が$2$勝する確率は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$2^{5x-3}>{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x$を解くと$\boxed{\text{(1)}}$である．また，不等式$2{\log }_{\frac{1}{3}}(x-3)>{\log }_{\frac{1}{3}}(x+9)$を解くと$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$f(\theta )={\cos }^2\theta -\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta -2\sin \theta +2\sqrt{3}\cos \theta$とする．このとき，$t=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とおいて$f(\theta )$を$t$を用いて表すと$f(\theta )=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$f(\theta )=-2$を満たす$\theta$の値を$0<\theta <\pi$の範囲で求めると$\theta =\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+1$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_{-2}^2}|f^{\prime }(x|dx$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．