2010　福岡大学　工・薬学部センタープラスMathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-x+k-2=0$が異なる$2$つの実数解をもち，$2$次方程式$x^2+2x-5k-8=0$も異なる$2$つの実数解をもつとき，定数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，この$2$つの方程式が共通な実数解をもつとき，$k$の値をすべて求めると$k=\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．このとき，方程式$\cos 2\theta +6\cos \theta +1=0$の解は$\theta =\boxed{\text{(3)}}$である．また，方程式$\cos 2\theta +6\cos \theta +a=0$が解をもつ実数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6$の$6$つの数字の中から同じ数字をくり返し用いることを許して$3$桁の自然数をつくる．このとき，百の位の数字$a$と十の位の数字$b$と一の位の数字$c$について，$a<b<c$である自然数は$\boxed{\text{(5)}}$通りあり，$a\leqq b\leqq c$である自然数は$\boxed{\text{(6)}}$通りある．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　連立不等式$y\geqq \left|x\right|\text{，}x+2y\leqq 4$の表す領域を$D$とするとき，$D$の面積は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$2x-y$の最大値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 7& -2\end{array}\right)$に対して，$A^2=pA+qE$を満たす実数$p\text{，}q$を求めると$(p,q)=\boxed{\text{(3)}}$である．また，行列$A^{2010}$を求めると$A^{2010}=\boxed{\text{(4)}}$である．ただし，$E$は単位行列を表す．

【３】　$a$を正の定数とする．曲線$C\text{：}y=\log ax\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　原点から曲線$C$に引いた接線の方程式と，接点の座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積が$3$になるときの，$a$の値を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　点$(1,2)$から放物線$C$に$2$本の接線を引いたところ，接点の座標は$(0,1)$と$(2,0)$であった．このとき，放物線$C$の頂点の座標は$\boxed{\text{(3)}}$であり，放物線$C$と$2$本の接線で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=3$である．また，頂点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とすると$\mathrm{CH}=\sqrt{3}$であり，点$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{b}$と直交するとき，$k$の値を求めよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．