2010　福岡大学　経済・理・工・医・薬学部推薦MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x\text{，}y$が$4$つの不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+2y-8\leqq 0\text{，}3x+y-9\leqq 0$

を同時に満たすとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{(1)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1000$以下の自然数のうち，$18$の倍数かつ$24$の倍数である数の個数は$\boxed{\text{(2)}}$個である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$2$次方程式$x^2+(\sqrt{3}-3)x+2-\sqrt{3}=0$の$2$つの解が$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$のとき，$\tan (\alpha +\beta )=\boxed{\text{(3)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　不等式${({\log }_{2}x)}^2-{\log }_2{x}^2-8\geqq 0$を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　$a$を定数とし，放物線$y=x^2+4x+a$を$C$とする．直線$y=2x+1$が放物線$C$に接しているとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$a$の値に対して，放物線$C$と直線$y=2x+1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$x=1$で最大値$8$をとり，$f(-1)=0$である．このとき$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると$(a,b,c)=\boxed{\text{(1)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，方程式$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$を満たす$x$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$9$冊の異なる本がある．これらを$3$冊ずつ$3$組に分ける方法は$\boxed{\text{(3)}}$通りある．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$\overrightarrow{a}=(1,-2)\text{，}\overrightarrow{b}=(-3,4)\text{，}\overrightarrow{c}=(2,-3)$とする．$\overrightarrow{a}+p\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$が平行になるように実数$p$の値を定め，$\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$が垂直になるように実数$q$の値を定めると，$p\text{，}q$の値は$(p,q)=\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　関数$f(x)=x{e}^x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(ⅰ)　曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線と曲線$C$および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$f(-1)=f(3)=0$を満たし，$f(x)$の最大値は$8$である．このとき$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると$(a,b,c)=\boxed{\text{(1)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x<2\pi$のとき，不等式$|\sin x|>\cos x$を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　空間内の$3$点を$\mathrm{A}(a,1,4)\text{，}\mathrm{B}(3,5,4)\text{，}\mathrm{C}(-1,3,6)$とする．内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が最小値をとるとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線を$y=g(x)$とする．このとき，$3$つの不等式$y\geqq f(x)\text{，}y\leqq g(x)\text{，}y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の表す領域の面積を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{4}{3}}x$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$を通る直線$l_1$が，$\mathrm{P}$とは異なる曲線$C$上の点$\mathrm{Q}(q,f(q))$で曲線$C$に接している．ただし，$p>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$q$を$p$の式で表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l_2$と直線$l_1$が直交するときの，点$\mathrm{P}$の$x$座標$p$を求めよ．