2011　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a=3+2\sqrt{2}\text{，}$$b=2+\sqrt{3}$とすると

${\displaystyle \frac{1}{a}}=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$

${\displaystyle \frac{1}{b}}=\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

${\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{b}{a}}=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}-\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

である．このとき，不等式

$|2abx-a^2|<b^2$

を満たす$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}<x$$<\boxed{\text{セ}}-\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

となる．

【１】

［２］　$n$を自然数とし

$A=n^4-2n^3+3n^2-2n+2$

とおく．

$n^4+3n^2+2=(n^2+\boxed{\text{チ}})(n^2+\boxed{\text{ツ}})$

であるから

$A=(n^2+\boxed{\text{テ}})(n^2-\boxed{\text{ト}}n+\boxed{\text{ナ}})$

となる．ただし，$\boxed{\text{チ}}$と$\boxed{\text{ツ}}$の解答の順序は問わない．

　さらに

$n^2-\boxed{\text{ト}}n+\boxed{\text{ナ}}$$={(n-\boxed{\text{ニ}})}^2+\boxed{\text{ヌ}}$

である．

　したがって，$A<1000$を満たす最大の$n$は$\boxed{\text{ネ}}$であり，このときの$A$の素因数分解は

$A=\boxed{\text{ノ}}\times \boxed{\text{ハヒ}}\times \boxed{\text{フヘ}}$

となる．ただし，$\boxed{\text{ハヒ}}$と$\boxed{\text{フヘ}}$の解答の順序は問わない．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とし，$a\ne 0\text{，}$$b\ne 0$とする．$x$の$2$次関数

$y=a{x}^2+bx+c$$\cdots \text{①}$

のグラフを$G$とする．$G$が$y=-3x^2+12bx$のグラフと同じ軸をもつとき

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$$\cdots \text{②}$

となる．さらに，$G$が点$(1,2b-1)$を通るとき

$c=b-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$$\cdots \text{③}$

が成り立つ．

　以下，$\text{②}\text{，}$$\text{③}$のとき，$2$次関数$\text{①}$とそのグラフ$G$を考える．

(1)　$G$と$x$軸が異なる$2$点で交わるような$b$の値の範囲は

$b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}<b$

である．さらに，$G$と$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような$b$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}<b<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

(2)　$b>0$とする．

　$0\leqq x\leqq b$における$2$次関数$\text{①}$の最小値が$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$であるとき，$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．一方，$x\geqq b$における$2$次関数$\text{①}$の最大値が$3$であるとき，$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

　$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$のときの$\text{①}$のグラフをそれぞれ$G_1\text{，}{G}_2$とする．$G_1$を$x$軸方向に$\boxed{\text{テ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{ト}}$だけ平行移動すれば，$G_2$と一致する．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする円$O$の円周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順にあり，

$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{CD}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BD}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{AC}=4$

であるとする．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta \text{，}$$\mathrm{BC}=x$とおくと，$▵\mathrm{ABC}$に着目して

$x^2=\boxed{\text{アイ}}-16\cos \theta$

となる．また，$▵\mathrm{BCD}$に着目して

$x^2=24-\boxed{\text{ウエ}}\cos \theta$

となる．よって，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$x=\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$であり，円$O$の半径は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\boxed{\text{ケ}}$の球を考える．点$\mathrm{P}$を，この球面上の点で三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{PABC}$の体積が最大となるような点とする．

　このとき，三角錐$\mathrm{PABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，$\mathrm{PA}=\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

　さらに，点$\mathrm{P}$を中心とし，三角錐$\mathrm{PABC}$を含む最小の球の表面積は$\boxed{\text{チツ}}\pi$である．

【４】　$a\text{，}$$b$は正の実数で，${\displaystyle \frac{a}{b}}$は整数でないとする．${\displaystyle \frac{a}{b}}$をこえない最大の整数を$m\text{，}$${\displaystyle \frac{b}{a-bm}}$をこえない最大の整数を$n$とする．すなわち，$m\text{，}$$n$は

$m<{\displaystyle \frac{a}{b}}<m+1\text{，}$$n\leqq {\displaystyle \frac{b}{a-bm}}<n+1$

を満たす整数である．

(1)　$a=17\text{，}$$b=3$のとき，$m=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$n=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$a=20\text{，}$$b=\sqrt{2}$のとき，$m=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{9}{4}}<{\displaystyle \frac{a}{b}}\leqq {\displaystyle \frac{7}{3}}$であるとき，$m=\boxed{\text{カ}}$であるから，${\displaystyle \frac{a}{b}}-m$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}<{\displaystyle \frac{a}{b}}-m\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

となる．よって，${\displaystyle \frac{b}{a-bm}}$のとり得る値の範囲は

$\boxed{\text{サ}}\leqq {\displaystyle \frac{b}{a-bm}}<\boxed{\text{シ}}$

となり，$n=\boxed{\text{ス}}$と定まる．

(4)　$m=n=2$となるときの${\displaystyle \frac{a}{b}}$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}<{\displaystyle \frac{a}{b}}\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【１】

〔２〕　実数$a\text{，}$$b$に関する条件$\mathrm{p}\text{，}$$\mathrm{q}$を次のように定める．

$\mathrm{p}:{(a+b)}^2+{(a-2b)}^2<5$

$\mathrm{q}:|a+b|<1\text{または}|a-2b|<2$

(1)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，命題「$\mathrm{q}⟹\mathrm{p}$」に対する反例になっているのは$\boxed{\text{チ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$a=0\text{，}$$b=0$
• $\overline{)\text{1}}$　$a=1\text{，}$$b=0$
• $\overline{)\text{2}}$　$a=0\text{，}$$b=1$
• $\overline{)\text{3}}$　$a=1\text{，}$$b=1$

(2)　命題「$\mathrm{p}⟹\mathrm{q}$」の待遇は「$\boxed{\text{ツ}}⟹\boxed{\text{テ}}$」である．

$\boxed{\text{ツ}}\text{，}$$\boxed{\text{テ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうちから一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$|a+b|<1\text{かつ}|a-2b|<2$
• $\overline{)\text{1}}$　${(a+b)}^2+{(a-2b)}^2<5$
• $\overline{)\text{2}}$　$|a+b|<1\text{または}|a-2b|<2$
• $\overline{)\text{3}}$　${(a+b)}^2+{(a-2b)}^2\leqq 5$
• $\overline{)\text{4}}$　$|a+b|\geqq 1\text{かつ}|a-2b|\geqq 2$
• $\overline{)\text{5}}$　${(a+b)}^2+{(a-2b)}^2>5$
• $\overline{)\text{6}}$　$|a+b|\geqq 1\text{または}|a-2b|\geqq 2$
• $\overline{)\text{7}}$　${(a+b)}^2+{(a-2b)}^2\geqq 5$

(3)　$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための$\boxed{\text{ト}}$．

　$\boxed{\text{ト}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする円$O$の円周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順にある．四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さは，それぞれ

$\mathrm{AB}=\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{7}\text{，}$$\mathrm{CD}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{DA}=2\sqrt{3}$

であるとする．

(1)　$\angle \mathrm{ABC}=\theta \text{，}$$\mathrm{AC}=x$とおくと，$▵\mathrm{ABC}$に着目して

$x^2=\boxed{\text{アイ}}-28\cos \theta$

となる．また，$▵\mathrm{ACD}$に着目して

$x^2=15+\boxed{\text{ウエ}}\cos \theta$

となる．よって，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$x=\sqrt{\boxed{\text{キク}}}$であり，円$O$の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

　また，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(2)　点$\mathrm{A}$における円$O$の接線と点$\mathrm{D}$における円$O$の接線の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\angle \mathrm{OAE}=\boxed{\text{シス}}°$である．また，線分$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{AD}$の交点を$F$とすると，$\angle \mathrm{AFE}=\boxed{\text{セソ}}°$であり，

$\mathrm{OF}\cdot \mathrm{OE}=\boxed{\text{タ}}$

である．

　さらに，辺$\mathrm{AD}$の延長と線分$\mathrm{OC}$の延長の交点を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{E}$から直線$\mathrm{OG}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

　$4$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\boxed{\text{チ}}$は同一円周上にある．$\boxed{\text{チ}}$に当てはまるものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$から一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{F}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{D}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{F}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{A}$
• $\overline{)\text{4}}$　$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$

したがって

$\mathrm{OH}\cdot \mathrm{OG}=\boxed{\text{ツ}}$

である．

【４】　$1$個のさいころを投げるとき，$4$以下の目が出る確率$p$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$5$以上の目が出る確率$q$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

　以下では，$1$個のさいころを$8$回繰り返して投げる．

(1)　$8$回の中で$4$以下の目がちょうど$3$回出る確率は$\boxed{\text{オカ}}{p}^3{q}^5$である．

　第$1$回目に$4$以下の目が出て，さらに次の$7$回の中で$4$以下の目がちょうど$2$回でる確率は$\boxed{\text{キク}}{p}^3{q}^5$である．

　第$1$回目に$5$以上の目が出て，さらに次の$7$回の中で$4$以下の目がちょうど$3$回出る確率は$\boxed{\text{ケコ}}{p}^3{q}^5$である．

(2)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうち$\boxed{\text{オカ}}$に等しいものは$\boxed{\text{サ}}$と$\boxed{\text{シ}}$である．ただし，$\boxed{\text{サ}}$と$\boxed{\text{シ}}$は解答の順序を問わない．

• $\overline{)\text{0}}$　${}_{7}C_2\times {}_{7}C_3$
• $\overline{)\text{1}}$　${}_{8}C_1\times {}_{8}C_2$
• $\overline{)\text{2}}$　${}_{7}C_2+{}_{7}C_3$
• $\overline{)\text{3}}$　${}_{8}C_1+{}_{8}C_2$
• $\overline{)\text{4}}$　${}_{7}C_4\times {}_{7}C_5$
• $\overline{)\text{5}}$　${}_{8}C_6\times {}_{8}C_7$
• $\overline{)\text{6}}$　${}_{7}C_4+{}_{7}C_5$
• $\overline{)\text{7}}$　${}_{8}C_6+{}_{8}C_7$

(3)　得点を次のように定める．

　$8$回の中で$4$以下の目がちょうど$3$回出た場合，

$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$について，第$n$回目に初めて$4$以下の目が出たとき，得点は$n$点とする．

また，$4$以下の目が出た回数がちょうど$3$回とならないときは，得点を$0$点とする．

　このとき，得点が$6$点となる確率は$p^{\boxed{\text{ス}}}{q}^{\boxed{\text{セ}}}$であり，得点が$3$点となる確率は$\boxed{\text{ソタ}}{p}^{\boxed{\text{ス}}}{q}^{\boxed{\text{セ}}}$である．また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツテ}}}{\boxed{\text{トナニ}}}}$である．