2011　大学入試センター試験　追試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

〔１〕　整式$A=\sqrt{2}xy-2\sqrt{5}x+2\sqrt{5}y-10\sqrt{2}$を考える．

$A=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}(x+\sqrt{\boxed{\text{イウ}}})(y-\sqrt{\boxed{\text{エオ}}})$

である．

(1)　$y=x-6$のとき，$A<0$を満たす$x$の値の範囲は

$-\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}<x<\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}$

である．

(2)　$x=3\text{，}y=4$のとき

${\displaystyle \frac{1}{A}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

【１】

〔２〕(1)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}2x+3y-1=0\\ |4x-16|=2x+6y+21\end{array}$

の解は

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\\ y=\boxed{\text{チツ}}\end{array}$と$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\\ y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\end{array}$

である．

(2)　$x\text{，}$$y$が$2x+3y-1=0$および不等式

$|4x-16|<2x+6y+21$

を満たすとする．このとき，$x$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}<x<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒフ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$

である．

(3)　$x\text{，}$$y$がともに整数で，(2)の条件を満たすような$(x,y)$の組の個数は$\boxed{\text{ホ}}$個である．

【２】　$a$を$0<a<4$を満たす定数とする．$0<t\leqq a$のとき，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点

$\mathrm{P}(t,0)\text{，}$$\mathrm{Q}(0,4-t)$

をとる．

　次に，点$\mathrm{P}$を通る傾き$1$の直線上の点で，その$x$座標が$a$であるような点$\mathrm{R}$をとる．点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線の傾きは

${\displaystyle \frac{a-\boxed{\text{ア}}}{a}}$

である．線分$\mathrm{QR}$上の点でその$x$座標が${\displaystyle \frac{t}{4}}$であるものを$\mathrm{T}$とすれば，$\mathrm{T}$の$y$座標は

$\boxed{\text{イ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}a+4}{\boxed{\text{エ}}a}}t$

である．

　$y$軸上に点$\mathrm{H}(0,\boxed{\text{イ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}a+4}{\boxed{\text{エ}}a}}t)$をとる．台形$\mathrm{OPTH}$の面積を$S$とすれば

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}t(\boxed{\text{イ}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}a+4}{\boxed{\text{エ}}a}}t)$

であり，$t$の$2$次関数となる．

(1)　$a=1$とする．

$0<t\leqq 1$における$S$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

(2)　$a=2$とする．

　$0<t\leqq 2$において，$S$は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$で最大値$\boxed{\text{ス}}$をとり，また$S\geqq {\displaystyle \frac{15}{8}}$を満たす$t$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\leqq t\leqq \boxed{\text{タ}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=7$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．また，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(1)　辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の上に，それぞれ点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を

$\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\mathrm{BD}+\mathrm{CE}\text{，}$$\mathrm{BD}:\mathrm{CE}=1:3$

を満たすようにとる．このとき

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}$$\mathrm{AE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．したがって，$\mathrm{DE}=\boxed{\text{シ}}$である．

　また，四角形$\mathrm{BCED}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{DE}$を折り目として$▵\mathrm{ABC}$を折り曲げて，四角形$\mathrm{BCED}$を底面とする四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{ABCED}$をつくる．ただし，側面の$▵\mathrm{ADE}$は底面に垂直であるとする．

　このとき，四角錐$\mathrm{ABCED}$の高さは$\sqrt{\boxed{\text{タ}}}\text{，}$体積は$\boxed{\text{チ}}$である．

　また，$\mathrm{BD}+\mathrm{DE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$であるから，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の中で，点$\mathrm{E}$からの距離が最大となる点は，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち$\boxed{\text{ト}}$である．

• $\overline{)\text{0}}$　$\mathrm{A}$
• $\overline{)\text{1}}$　$\mathrm{B}$
• $\overline{)\text{2}}$　$\mathrm{C}$
• $\overline{)\text{3}}$　$\mathrm{D}$

　したがって，点$\mathrm{E}$ を中心とし，四角錐 $\mathrm{ABCED}$を含む最小の球の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\pi$ である．

【４】　$a$を実数とする．$x$の整式$P=x^2+6ax+a^2-8$を考える．

$x^3+a^3={(x+a)}^3-\boxed{\text{ア}}ax(x+a)$

であるから

$P={(x+a)}^3-8-\boxed{\text{ア}}ax(x+a-\boxed{\text{イ}})$

$=(x+a-\boxed{\text{イ}})\{x^2+(-a+\boxed{\text{ウ}})x$

$+a^2+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}\}$

となる．ここで，$x$の$2$次式

$Q=x^2+(-a+\boxed{\text{ウ}})x+a^2+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}}$

に対して，$D={(-a+\boxed{\text{ウ}})}^2-4(a^2+\boxed{\text{エ}}a+\boxed{\text{オ}})$とすると

$D=\boxed{\text{カキ}}{(a+\boxed{\text{ク}})}^2$

である．よって，$Q>0$が$x$の値によらず成り立つのは，$a\ne \boxed{\text{ケコ}}$のときである．

(1)　$a\ne \boxed{\text{ケコ}}$ならば，$P\geqq 0$となるのは，$x\geqq -a+\boxed{\text{サ}}$のときである．

(2)　$a=\boxed{\text{ケコ}}$とする．このとき$Q={(x+\boxed{\text{シ}})}^2$である．したがって$P\geqq 0$となるのは，$x\geqq \boxed{\text{ス}}$または$x=\boxed{\text{セソ}}$のときである．

【１】〔２〕　$1$から$100$までのすべての自然数の集合を全体集合$\mathrm{U}$とし，その部分集合$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を次のように定義する．

$\mathrm{A}=\{x|x\text{は偶数}\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\text{は}3\text{の倍数}\}$

$\mathrm{C}=\{x|x\text{は}4\text{の倍数}\}$

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の関係を表す図は，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち$\boxed{\text{セ}}$である．

(2)　$\mathrm{C}$の補集合を$\bar{\mathrm{C}}$で表す．また，$x$が集合$\mathrm{S}$の要素であることを$x\in \mathrm{S}$と表す．

　$x\in \mathrm{C}$は$x\in \mathrm{A}\cap \mathrm{B}$であるための$\boxed{\text{ソ}}$．

　$x\in \mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{C}}$は$x\in \mathrm{A}$であるための$\boxed{\text{タ}}$．

　$x\in \mathrm{A}\cup \mathrm{B}$は「$x\in \mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{C}}$または$x\in \mathrm{B}$」であるための$\boxed{\text{チ}}$．

　$x\in \mathrm{A}\cup \mathrm{B}$は「$x\in \mathrm{A}$または$x\in \mathrm{B}\cap \bar{\mathrm{C}}$」であるための$\boxed{\text{ツ}}$．

　$\boxed{\text{ソ}}$〜$\boxed{\text{ツ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．

$\overline{)\text{0}}$　必要十分条件である

$\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件ではない

$\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件ではない

$\overline{)\text{3}}$　必要条件でも十分条件でもない

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=6$とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$$\sin \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とする．

(1)　内接円$I$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

　円$I$と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{T}$とすると，$\mathrm{AT}=\boxed{\text{サ}}$である．

(2)　線分$\mathrm{AI}$の延長上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は$▵\mathrm{ABC}$の外部にあるとし，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{PL}$を下ろし，さらに，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$の延長と$\mathrm{AC}$の延長にそれぞれ垂線$\mathrm{PM}$と$\mathrm{PN}$を下ろしたとき，$\mathrm{PL}=\mathrm{PM}=\mathrm{PN}$が満たされているとする．

　このとき

$\mathrm{BM}=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$\mathrm{CL}=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\mathrm{AN}=\boxed{\text{セ}}$

である．

　したがって，$\mathrm{AI}:\mathrm{AP}=\boxed{\text{ソ}}:\boxed{\text{タ}}\text{，}$$\mathrm{PM}=\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

(3)　線分$\mathrm{PL}$上に中心をもち，点$\mathrm{C}$を通る円を考える．点$\mathrm{B}$からこの円に接線を引くとき，点$\mathrm{B}$から接点までの距離は，この円の中心の位置によらず$\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

【４】　$1$から$10$までの番号がつけられた$10$枚のカードから，$5$枚のカードを同時に取り出す．このとき，取り出した$5$枚のカードの番号の中で，最も大きな番号を$L\text{，}$最も小さな番号を$S$として，得点を次のように定める．

・$L$が偶数のとき，得点を$0$点とする

・$L$が奇数のとき，$L$と$S$の差$L-S$を得点とする

(1)　$5$枚のカードの取り出し方は$\boxed{\text{アイウ}}$通りあり，そのうち得点が$0$点となるカードの取り出し方は$\boxed{\text{エオカ}}$通りある．

(2)　とり得る正の得点の中で最も低いのは$\boxed{\text{キ}}$点で，得点が$\boxed{\text{キ}}$点となるカードの取り出し方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．

　とり得る特区点の中で最も高いのは$\boxed{\text{ケ}}$点で，得点が$\boxed{\text{ケ}}$点となるカードの取り出し方は$\boxed{\text{コサ}}$通りある．

(3)　得点が$5$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}\text{，}$得点が$6$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}\text{，}$得点が$7$点となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テト}}}}$である．

　また，得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}}$である．