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2011 北海道大学 前期

文系

理系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x に対して k x<k+ 1 を満たす整数 k [x] で表す.

 たとえば, [2]= 2 [ 52 ]= 2 [-2.1] =-3 である.

(1)  n2- 5n+ 5<0 を満たす整数 n をすべて求めよ.

(2)  [x] 2-5 [x] +5<0 を満たす実数 x の範囲を求めよ.

(3)  x は(2)で求めた範囲にあるものとする. x2- 5[x ]+5= 0 を満たす x をすべて求めよ.

2011 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の実数, b c を実数とし, 2 P( -1,3 )Q (1, 4) を通る放物線 y= ax2 +bx +c C とおく. C 上の 2 P Q における C の接線をそれぞれ l 1 l2 とする.

(1)  b の値を求め, c a で表せ.

(2)  l1 l2 の交点の座標を a で表せ.

(3) 放物線 C と接線 l1 l2 で囲まれる図形の面積が 1 に等しくなるような a の値を求めよ.

2011 北海道大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【3】  a b を実数とし, xy 平面上の 3 直線を

l:x+ y=0 l1 :a x+y= 2a+ 2 l2: bx+ y=2 b+2

で定める.

(1) 直線 l1 a の値によらない 1 P を通る. P の座標を求めよ.

(2)  l l1 l2 によって三角形がつくられるための a b の条件を求めよ.

(3)  a b は(2)で求めた条件を満たすものとする.点 (1, 1) が(2)の三角形の内部にあるような a b の範囲を求め,それを ab 平面上に図示せよ.

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文系

理系【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の自然数, q r を自然数とする. 1 から n q までの番号がついた n q 個の白玉, 1 から n r までの番号がついた n r 個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を, 1 番から n 番まで番号づけられた n 個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は q 個ずつ,赤玉は r 個ずつ配分しておく.たとえば, 1 番の箱には番号 1 から q の白玉と番号 1 から r の赤玉が入っている.これら n (q+r ) 個の玉を n 個の箱に以下のように再配分する. 1 番の箱から 1 個の玉を取り出して 2 番の箱に移し,次に 2 番の箱から 1 個の玉を取り出して 3 番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に n 番の箱に 1 個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を sn とし, n 番の箱の白玉が q+ 1 個であるような再配分の総数を an とする.

(1)  s2 を求めよ.

(2)  s3 a3 を求めよ.

(3)  s4 a4 を求めよ.

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理系

文系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x に対して k x<k+ 1 を満たす整数 k [x] で表す.

 たとえば, [2]= 2 [ 52 ]= 2 [-2.1] =-3 である.

(1)  n2- n- 54 <0 を満たす整数 n をすべて求めよ.

(2)  [x] 2-[ x]- 5 4<0 を満たす実数 x 範囲を求めよ.

(3)  x は(2)で求めた範囲にあるものとする. x2- [x]- 5 4=0 を満たす x をすべて求めよ.

2011 北海道大学 前期

理系

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A= ( ab cd ) について,以下の 3 つの条件を考える.

(ⅰ)  a+d= ad- bc= 0

(ⅱ)  A2= O

(ⅲ) ある自然数 n に対して An= O

 このとき,次の問いに答えよ.

(1)  (ⅰ)ならば (ⅱ)であることを示せ.

(2)  (ⅲ)ならば a d-b c=0 であることを示せ.

(3)  (ⅲ) ならば (ⅰ) であることを示せ.

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理系

易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

(1)  xy 平面上の 3 O ( 0,0) A( 2,1) B( 1,2) を通る円の方程式を求めよ.

(2)  t が実数全体を動くとき, xyz 空間内の点 (t+ 2,t+ 2,t) がつくる直線を l とする. 3 O (0, 0,0) A ( 2,1, 0) B ( 1,2, 0) を通り,中心を C (a, b,c) とする球面 S が直線 l と共有点をもつとき, a b c の満たす条件を求めよ.

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理系

文系【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の自然数, q r を自然数とする. 1 から n q までの番号がついた n q 個の白玉, 1 から n r までの番号がついた n r 個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を, 1 番から n 番まで番号づけられた n 個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は q 個ずつ,赤玉は r 個ずつ配分しておく.たとえば, 1 番の箱には番号 1 から q の白玉と番号 1 から r の赤玉が入っている.これら n (q+r ) 個の玉を n 個の箱に以下のように再配分する. 1 番の箱から 1 個の玉を取り出して 2 番の箱に移し,次に 2 番の箱から 1 個の玉を取り出して 3 番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に n 番の箱に 1 個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を sn とし, n 番の箱の白玉が q+ 1 個であるような再配分の総数を an とする.

(1)  a2 a3 を求めよ.

(2)  sn を求めよ.

(3)  an+ 1- an を求めよ.

(4)  an を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【5】  0<a< 2π とする. 0<x< 2π に対して

F(x )= x x+a 1- cosθ dθ

と定める.

(1)  F (x) を求めよ.

(2)  F (x) 0 となる x の範囲を求めよ.

(3)  F(x ) の極大値および極小値を求めよ.

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