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2011 北海道大学 後期

理学部,工学部

易□ 並□ 難□

【1】  0θ< π に対して,行列 ( cosθ sinθ sin θ-cos θ ) で表される 1 次変換を f とし,点 P f による像を f (P) で表す.

(1) 点 Q( cos θ2 ,sin θ2 ) に対して, f(Q ) の座標を求めよ.

(2) 点 R (cos θ2 ,-cos θ2 ) に対して, f(R ) の座標を求めよ.

(3)  f は直線 y= ( tan θ2 ) x に関する対称移動であることを示せ.

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理学部,工学部

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【2】  a を実数とする. xyz 空間内の 4 点を A( 0,a, 4) B(- 2,0, 3) C(1 ,0,2) D (0, 2,3) とし,点 P (1, 0,6) に光源をおく.

(1) 光源が xy 平面上につくる点 A の影の座標を求めよ.また, a が実数全体にわたって変化するとき,その影がつくる直線の方程式を求めよ.

(2) 光源が xy 平面上につくる三角形 BCD の影は三角形になる.この三角形の頂点の座標を求めよ.

(3)  a<5 とする.光源が xy 平面上につくる四面体 ABCD の影を考える.この影が三角形となるような a の範囲を求めよ.

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【3】  k を実数とし, x0 に対して f (x)= xe -x g( x)=k x と定める.ただし, e=2.7182 は自然対数の底である.

(1)  0<x 2 の範囲に f (x)= g(x ) を満たす x がただ 1 つ存在するための k の範囲を求めよ.

(2)  k が(1)の範囲にあるとき,(1)で定まる x a とする.積分 0 a f( x) dx の値を k を用いて表せ.

(3)  k が(1)の範囲にあるとき,積分 0 2 | f(x )-g (x) | dx の値が最小となる k を求めよ.

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【4】  p を自然数とする.数列 {xn } を漸化式

x1= cos ( 2 πp ) x n+1 =2 ( xn) 2- 1 n=1 2 3

で定める.

(1)  xn を求めよ.

(2)  l を自然数とする. p=2l および p= 3×2 l のそれぞれの場合について lim n x n を求めよ.

(3)  l を自然数とする. p=5× 2l のとき,数列 {x n} は発散することを示せ.

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