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2011-10001-0201
2011 北海道大学 後期
理学部,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 0≦θ< π に対して,行列 ( cos⁡θ sin⁢θ sin⁡ θ-cos ⁡θ ) で表される 1 次変換を f とし,点 P の f による像を f⁡ (P) で表す.
(1) 点 Q( cos⁡ θ2 ,sin⁡ θ2 ) に対して, f⁡(Q ) の座標を求めよ.
(2) 点 R (cos ⁡ θ2 ,-cos ⁡ θ2 ) に対して, f⁡(R ) の座標を求めよ.
(3) f は直線 y= ( tan⁡ θ2 ) x に関する対称移動であることを示せ.
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【2】 a を実数とする. xyz 空間内の 4 点を A( 0,a, 4), B(- 2,0, 3), C(1 ,0,2) ,D (0, 2,3) とし,点 P (1, 0,6) に光源をおく.
(1) 光源が xy 平面上につくる点 A の影の座標を求めよ.また, a が実数全体にわたって変化するとき,その影がつくる直線の方程式を求めよ.
(2) 光源が xy 平面上につくる三角形 BCD の影は三角形になる.この三角形の頂点の座標を求めよ.
(3) a<5 とする.光源が xy 平面上につくる四面体 ABCD の影を考える.この影が三角形となるような a の範囲を求めよ.
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【3】 k を実数とし, x≧0 に対して f⁡ (x)= x⁢e -x ,g⁡( x)=k⁢ x と定める.ただし, e=2.7182 ⋯ は自然対数の底である.
(1) 0<x≦ 2 の範囲に f⁡ (x)= g⁡(x ) を満たす x がただ 1 つ存在するための k の範囲を求めよ.
(2) k が(1)の範囲にあるとき,(1)で定まる x を a とする.積分 ∫0 a⁡ f⁡( x)⁡ dx の値を k を用いて表せ.
(3) k が(1)の範囲にあるとき,積分 ∫0 2 | f⁡(x )-g⁡ (x) |⁢ dx の値が最小となる k を求めよ.
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【4】 p を自然数とする.数列 {xn } を漸化式
x1= cos⁡ ( 2 ⁢πp ) ,x n+1 =2⁢ ( xn) 2- 1( n=1 ,2 ,3 , ⋯)
で定める.
(1) xn を求めよ.
(2) l を自然数とする. p=2l および p= 3×2 l のそれぞれの場合について lim n→∞ ⁡x n を求めよ.
(3) l を自然数とする. p=5× 2l のとき,数列 {x n} は発散することを示せ.