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2011-10010-0101
2011 旭川医科大学 前期
医学部(医学科)
易□ 並□ 難□
【1】 ▵ABC は AB= AC の 2 等辺三角形とする. D を辺 BC 上の点とし, AD の延長線が ▵ABC の外接円と交わる点を P とする.次の問いに答えよ.
問1 AP=BP+ CP であるとき, ▵ABC は正三角形であることを示せ.
問2 1 BP+ 1CP = 1DP であるとき, ▵ABC は正三角形であることを示せ.
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【2】 平面上に正三角形でない鋭角三角形 ABC が与えられている.辺 BC ,CA ,AB の長さをそれぞれ a ,b ,c とし, s= a+b+ c2 とおく.さらに,辺 BC ,CA ,AB をそれぞれ s- c:s-b , s-a: s-c ,s- b:s-a に内分する点を X ,Y ,Z とする.また, O を原点とする.次の問いに答えよ.
問1 点 N を ON →= (s-a )⁢OA →+ (s-b )⁢OB →+ (s-c) ⁢OC →s と定義するとき, 3 直線 AX ,BY ,CZ は N で交わることを示せ.
問2 P を ▵ABC の内部の点, ▵PBC ,▵PCA ,▵ PAB の面積をそれぞれ S A, SB , SC とするとき,
OP→ = SA⁢ OA→ +SB ⁢OB→ +SC ⁢OC→ SA +SB +SC
と表される.このことを用いて, ▵ABC の外心を Q とするとき, OQ→ を OA → ,OB → ,OC → ,a ,b ,c を用いて表せ.
問3 ▵ABC の重心を G とする.点 N が Q と G を通る直線上にあるとき, ▵ABC は 2 等辺三角形であることを示せ.
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【3】 曲線 y= ea⁢ x+b ( a≧1 ) と曲線 y= e-x が一点で交わり,交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする.次の問いに答えよ.
問1 交点の座標を (x⁡ (a),y ⁡(a) ) とおくとき, b ,x⁡ (a) ,y⁡ (a) をそれぞれ a を用いて表せ.
問2 曲線 y= ea⁢ x-b ( a≧1 ) を C⁡ (a) で表す.曲線 C⁡ (a) と曲線 C⁡ (a+1 ) の交点の x 座標を X⁡ (a) とおくとき,
lima→ ∞⁡ (X⁡( a)-x ⁡(a) )
を求めよ.
問3 X⁡(a )-x⁡ (a) は a≧ 1 のとき単調減少であることを示せ.
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【4】 f⁡(x )= 1cos⁡ x- tan⁡x (0 ≦x< π2 ) とする.次の問いに答えよ.
問1 g⁡(x ) を 0≦ x≦ π2 で連続で, 0≦x< π 2 では g⁡ (x)= f⁡(x ) を満たす関数とする.
(a) g⁡( π 2 ) を求めよ.
(b) g⁡(x ) の増加,減少を調べよ.
(c) ∫ 0x⁡ g⁡(t )⁢dt を求めよ.
問2 n を自然数とし, cn を ∫ π2 -cn π2 ⁡ g⁡(t )⁢dt = 1n⁢ ∫ 0π2 ⁡g ⁡(t) ⁢dt を満たす 0 と π2 の間の数とする.次の極限を求めよ.
(a) limn→ ∞⁡ n⁢ (1-cos ⁡cn )
(b) limn→ ∞⁡ n⁢ cn