2011　筑波大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，直線$y=1$の$|x|\geqq 1$を満たす部分を$C$とする．

(1)　$C$上に点$\mathrm{A}(t,1)$をとるとき，線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$が$C$全体を動くとき，線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．

【２】　自然数$n$に対し，関数

$F_n(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}{e}^{-t^n}dt\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．

(1)　関数$F_n(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\log a_n$を求めよ．

【３】　$\alpha$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．円$C:x^2+{(y+\sin \alpha )}^2=1$および，その中心を通る直線$l:y=(\tan \alpha )x-\sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$と円$C$の$2$つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　等式

$2{\displaystyle {\int }_{\cos \alpha }^1}\sqrt{1-x^2}dx+{\displaystyle {\int }_{-\cos \alpha }^{\cos \alpha }}\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq (\tan \alpha )x-\sin \alpha \\ x^2+{(y+\sin \alpha )}^2\leqq 1\end{array}$

の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を，

$a_1=1$，

$(n+3)a_{n+1}-n{a}_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$b_n=n(n+1)(n+2)a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　等式

$p(n+1)(n+2)+qn(n+2)+rn(n+1)=b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つように，定数$p\text{，}q\text{，}r$の値を定めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表せ．

【５】　実数を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考える．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{Q}(u,v)$について等式

$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が成り立つとき，行列$A$により点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$に移るという．

　点$(1,3)$は行列$A$により点$(10,10)$に移り，さらに等式

$A^2-7A+10E=O$

が成り立つものとする．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　行列$A$により点$(10,10)$が移る点の座標を求めよ．

(2)　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(3)　次の条件(＊)の方程式を求めよ．

(＊)　直線$l$上のすべての点が行列$A$により$l$上の点に移る．

【６】　$d$を正の定数とする．$2$点$\mathrm{A}(-d,0)\text{，}\mathrm{B}(d,0)$からの距離の和が$4d$である点$\mathrm{P}$の軌跡として定まる楕円$E$を考える．点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$原点$\mathrm{O}$から楕円$E$上の点$\mathrm{P}$までの距離をそれぞれ$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}\text{，}\mathrm{OP}$と書く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．

(2)　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$および$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{BP}$を，$\mathrm{OP}$と$d$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が楕円$E$全体を動くとき，${\mathrm{AP}}^3+{\mathrm{BP}}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　教育学類，障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学III選択者　【２】，【３】必須

　　数学C選択者　【５】，【６】必須

　心理学類　【１】，【４】必須，【２】，【３】，【５】，【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から２題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須， 【１】か【４】から1題選択

　知識情報・図書館学類　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択