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2011-10162-0601
2011 筑波大学 第2学期推薦理工学群
工学システム学類
易□ 並□ 難□
【1】 媒介変数 θ , 0≦θ ≦2⁢π で表された xy 平面上の曲線
x=θ- sin⁡θ , y=1- cos⁡θ
について,以下の問いに答えよ.
(1) 曲線の傾きを調べ,概形を描け.
(2) 曲線の長さを求めよ.
(3) 曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
2011-10162-0602
【2】 以下の問いに答えよ.
(1) 数列 { fk} ,{ gk} ,k=1 , ⋯, n が以下の不等式を満たすことを,数学的帰納法を用いて示せ.
( ∑k =1n ⁡ fk⁢ gk) 2≦ ( ∑k= 1n ⁡fk 2)⁢ ( ∑ k=1 n⁡ gk2 )
(2) (1)の結果を使って,以下の不等式が成り立つことを示せ.
{ ∫ab ⁡f⁡ (x) ⁢g⁡( x)⁢d x}2 ≦( ∫ ab⁡ {f⁡ (x) }2 ⁢dx) ⁢( ∫a b⁡ {g⁡ (x) }2 ⁢dx)
ただし, f⁡( x) ,g⁡ (x) は区間 [a ,b] で連続な関数とする.