2011　千葉大学　先進科学プログラム12月

【１】　以下の設問に答えなさい．

$\text{(1)}$　次の式を有理化し，できるだけ簡単にしなさい．ただし，$a>0$とする．

${\displaystyle \frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}+1}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}+1}}$

【１】　以下の設問に答えなさい．

$\text{(2)}$　$x={\displaystyle \frac{2+\sqrt{13}}{3}}$のとき，$x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$および$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の設問に答えなさい．

$\text{(3)}$　${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }}={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，${\displaystyle \frac{\tan {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の設問に答えなさい．

$\text{(4)}$　$a_n=a_1{r}^{n-1}\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}10\text{）}$と書ける数列$\{a_n\}$が

$a_1+a_2+\cdots +a_{10}=2$

${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{10}}}=3$

を満たすとき，積$a_1{a}_2\cdots a_{10}$の値を求めなさい．

【２】　曲線$C:y=x^3$について以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　点$(\alpha ,{\alpha }^3)\text{（}\alpha <0\text{）}$で曲線$C$に接する直線を求めなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた接線が曲線$C$と交わる点の$x$座標を求めなさい．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた接線と曲線$C$が囲む領域の面積を求めなさい．

【３】　$f(x)$は恒等的には$0$でない関数で，

$2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$

を満たす．以下の問に答えなさい．

(ⅰ)　$f(0)$の値を求めなさい．

(ⅱ)　$f(-x)$および$f(2x)$を$f(x)$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　$f^2(x)+f^2(y)=f(x+y)f(x-y)+f(0)$が成り立つことを証明しなさい．

【４】　$2$次元平面内の直線に関する次の各問に答えなさい．

(ⅰ)　点$\overrightarrow{r_0}=(x_0,y_0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(a,b)$に垂直な直線$l$上の任意の点$\overrightarrow{r}=(x,y)$が$ax+by+c=0$の形の方程式を満たすことを示し，$c$を求めなさい．

(ⅱ)　点$\overrightarrow{r_1}=(x_1,y_1)$から直線$l$に下ろした垂線の長さを，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{r_1}\text{，}\overrightarrow{r_0}$を用いて表しなさい．