2011　東京工業大学　後期数学MathJax

【１】　正の実数$t$に対して，座標空間における$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(t,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$のすべての面に内接する球$P$の半径$r$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が動くとき，球$P$の体積を四面体$\mathrm{OABC}$の体積で割った値の最大値を求めよ．

【２】　次の式

$x=\tan \theta \text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}(0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される$xy$平面上の曲線$C$を考える．定数$t>0$に対し点$\mathrm{P}(t,0)$を通り$x$軸に垂直な直線$l$と曲線$C$の交点を$\mathrm{Q}$とする．曲線$C\text{，}x$軸，$y$軸および直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1\text{，}{S}_2$を$t$を用いて表せ．

(2)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1-S_2}{\log t}}$を求めよ．