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2011-10270-0101
2011 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科,理(化学科),理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上に 2 つの放物線 C 1 ,C2 を考える.
C1: y=-x 2+4 ⁢x
C2: y=x2 -2⁢ x
(1) C1 ,C2 の原点とは異なる交点 A の座標と C 2 の頂点 B の座標を求めよ.
(2) 点 P ( x1, y1) から 2 点 A , B を通る直線 l におろした垂線の足を H とする. H の座標を x1 ,y1 を用いて表せ.ただし点 P は直線 l 上にないものとする.
(3) 点 P ( x1, y1 ) が C 1 上にあるとき,三角形 ABP の面積 x 1 の式で表せ.
(4) 点 P が C 1 上を原点から A まで動くとき,三角形 ABP の面積の最大値とそのときの P の座標を求めよ.
2011-10270-0102
【2】 数列 { an} を, 2 でも 3 でも 5 でも割り切れない自然数を小さい順に並べて出来た数列とする.すなわち, a1 =1 ,a 2=7 , ⋯ である.このとき,
(1) 第 10 項 a 10 を求めよ.
(2) 第 500 項 a 500 を求めよ.
(3) 数列 { an} の初項から第 8 ⁢k 項までの和を求めよ.ただし, k は自然数とする.
2011-10270-0103
文教育,生活科,理(数,物理,生物学科)学部数学共通
【3】 a ,b ,c ,d を定数とする.また w は x , y ,z から w =a⁢x +b⁢y +c⁢z +d によって定まるものとする,以下の命題を考える.
命題1: x≧0 かつ y≧ 0 かつ z≧ 0⟹ w≧0
命題2:「 x≧ 0 かつ z≧ 0 」または「 y≧ 0 かつ z≧ 0 」 ⟹w ≧0
命題3: z≧0 ⟹ w≧0
以下の問いに答えよ.
(1) b=0 かつ c= 0 のとき,命題1が真であれば, a≧0 かつ d ≧0 であることを示せ.
(2) 命題1が真であれば, a ,b ,c はすべて 0 以上であることを示せ.
(3) 命題2が真であれば,命題3も真であることを示せ.
2011-10270-0104
理(情報科,化学科)学部
【3】 x の多項式 f⁡ (x) は
∫ -11 ⁡x⁢ f⁡( x)⁢ dx=0 ,f ⁡(1 )=f ⁡(- 1)= 0
を満たしているとする.
(1) このとき ∫- 11 ⁡x2 ⁢f′ ⁡( x)⁡ dx= 0 を示せ.
(2) さらに多項式 f⁡ (x) は 3 次以下で ∫ -11 ⁡f ⁡(x )⁢ ex⁢d x=1 を満たしているとする.このような f⁡ (x) を求めよ.