2011　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

$A=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\text{，}B=(\begin{array}{cc}1& 3\end{array})\text{，}C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\text{，}D=(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array})$

(1)　行列$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$から$2$つを選びその積を考える．このような積として得られる行列をすべて求めよ．

(2)　(1)で得られた行列のなかで，$n$乗を考えられるものについて，その$n$乗を求めよ．ただし$n$は$2$以上の自然数とする．

(3)　行列$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$の$2$つ以上の積として得られる$2\times 3$行列をすべて求めよ．ただし同じ行列を何回使ってもよいものとする．

$C:|x-100|=y|y-3|e^y$

(1)　曲線$C$の概形を描け．

(2)　曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(1)　$p\ne \pm 2$のとき，$l_1\text{，}{l}_2$の傾きをそれぞれ$k_1\text{，}{k}_2$とする．$k_1\text{，}{k}_2$の和と積を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$l_1$と$l_2$が垂直となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　長方形$\mathrm{ABCD}$の各辺が楕円$E$に接するとき，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．長方形$\mathrm{ABCD}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)の長方形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値と最小値を求めよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があるとする．このとき，$3$つの三角形$\mathrm{PBC}\text{，}\mathrm{PCA}\text{，}\mathrm{PAB}$の面積の比が$x:y:z$であるならば，点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}+z\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z}}$

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とする．このとき三角形$\mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{I}$について，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるとき，その外心$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha =\angle \mathrm{CAB}\text{，}\beta =\angle \mathrm{ABC}$を用いて表せ．