2011　電気通信大学　昼間・前期MathJax

【１】　$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．

(ⅰ)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\log t)$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　接線$l$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$l$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．

(ⅴ)　$1<t\leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．

【２】　$x>0$において関数

$f(x)=\sin (\log x)$

を考える．

方程式$f(x)=0$の$0<x\leqq 1$における解を大きいほうから順にならべて，

$1={\alpha }_1>{\alpha }_2>{\alpha }_3>\cdots >{\alpha }_n>a_{n+1}>\cdots$

とする．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．

(ⅰ)　不定積分$I(x)\text{，}J(x)$をそれぞれ

$I(x)={\displaystyle \int }{e}^x\sin xdx\text{，}J(x)={\displaystyle \int }{e}^x\cos xdx$

とおくとき，$I(x)+J(x)\text{，}I(x)-J(x)$を求めよ．

(ⅱ)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(ⅲ)　${\alpha }_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(ⅳ)　区間${\alpha }_{n+1}\leqq x\leqq {\alpha }_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$S_n$を求めよ．

(ⅴ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和$S$を求めよ．

【３】　初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし，初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{x_n\}$を

$x_n=a_n+b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義するとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x_1{x}_3+{x_2}^2$と$x_2{x}_4-{x_3}^2$をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}r\text{，}s$の式で表し，因数分解せよ．

(ⅱ)　$x_1{x}_4-x_2{x}_3$を$a\text{，}b\text{，}r\text{，}s$の式で表し，因数分解せよ．

以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が

$x_1=4\text{，}{x}_2=7\text{，}{x}_3=11\text{，}{x}_4=13$

となる場合を考える．

(ⅲ)　$a\text{，}b\text{，}r\text{，}s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅴ)　数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{S_n}}$を求めよ．

【４】　直線$l:y=2x$の法線ベクトルを$\overrightarrow{n}=(a,b)$とし，点$\mathrm{P}(x,y)$と直線$l$との距離を$h$とする．ただし，$\left|\overrightarrow{n}\right|=1$で，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{n}$の成分$a\text{，}b$を求めよ．

(ⅱ)　原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{0}$でない$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$h$を$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$と$\theta$を用いて表せ．また，$h$を$x\text{，}y$を用いて表せ．

以下では，曲線$C$を，点$\mathrm{A}(1,0)$と直線$l$からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡とする．

(ⅲ)　曲線$C$の方程式（$x\text{，}y$の関係式）を求めよ．

(ⅳ)　曲線$C$と直線$y=t$（$t$は定数）との共有点の個数を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C$と直線$y=t$が$2$個の共有点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をもつとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$t$を用いて表せ．

(ⅵ)　曲線$C$と直線$y=0$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．