2011　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)　$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$y=x^2$を$C$とする．点${\mathrm{P}}_0(2,4)$における$C$の接線が直線$y=2$と交わる点を${\mathrm{Q}}_1(a_1,2)$とする．次に，点${\mathrm{P}}_1(a_1,{a_1}^2)$における$C$の接線が直線$y=a_1$と交わる点を${\mathrm{Q}}_2(a_2,a_1)$とする．以下同様に，点$(a_n,{a_n}^2)$を${\mathrm{P}}_n$とし，${\mathrm{P}}_n$における$C$の接線が$y=a_n$と交わる点を${\mathrm{Q}}_{n+1}(a_{n+1},a_n)$として，${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_4\text{，}\cdots$を定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}\text{，}$線分${\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}\text{，}$および$C$で囲まれる部分の面積を$n$の式で表せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を$\mathrm{OD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{OE}=t\text{（}0<t<1\text{）}\text{，}\mathrm{AF}={\displaystyle \frac{2}{3}}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が定める平面が直線$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{G}$とするとき，線分$\mathrm{BG}$の長さを$t$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$|\cos x|=\sin x$を満たす$x$を求め，$0\leqq x\leqq \pi$において，$\cos (\cos x)\text{，}\cos (\sin x)$の大小を比較せよ．

(2)　$\alpha \geqq 0\text{，}\beta \geqq 0\text{，}\alpha +\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\cos \alpha >\sin \beta$となることを示し，$0\leqq x\leqq \pi$において，$\cos (\cos x)>\sin (\sin x)$を示せ．

【４】　$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と$C_2:y=a{x}^2$は点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)　$\mathrm{P}$の座標および$a$の値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\left({\displaystyle \frac{\log x}{x}}\right)}^{2}dx$を求めよ．

(4)　$C_1\text{，}{C}_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【５】　$xy$平面上に直線$l$がある．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す$1$次変換$f$は，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす．

(ⅰ)　平面の点の$f$による像はすべて$l$上にある．

(ⅱ)　$f$は$l$の点をすべて原点に移す．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$による$\mathrm{P}$の像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}\text{，}$最小値$1-\sqrt{5}$をとる．

　次の問いに答えよ．

(1)　$A$を求めよ．また$l$の方程式を求めよ．

(2)　(ⅲ)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．