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2011-10321-0101
望星塾さんの解答(PDF8頁10行目)へ
2011 新潟大学 前期
経済,人文,教育,農学部
理系学部【3】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 ▵OAB において, OA=1 ,OB=AB =2 とし, OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく.実数 t に対して,
OP→ =t⁢ ( a→ + 12⁢ b →)
とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積 a →⋅ b→ を求めよ.
(2) AP=BP を満たすとき, t の値を求めよ.さらに線分 AP の長さを求めよ.
2011-10321-0102
望星塾さんの解答(PDF9頁6行目)へ
理系学部【2】の類題
【2】 数直線上の動点 A がはじめ原点にある.動点 A は 1 秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ 12 の確率で指定された長さを移動するものとする. n 秒後に動点 A が原点に戻る確率を p n とする.ただし, n は自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 動点 A が 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, p1 , p2 , p3 , p4 を求めよ.
(2) 動点 A が 1 秒ごとに正の向きに 2 または負の向きに 1 移動するとき, p6 を求めよ.
2011-10321-0103
望星塾さんの解答(PDF9頁25行目)へ
【3】 xy 平面上の 3 点を O (0 ,0) ,A (4 ,0) ,B (3 ,3) とする. 2 点 O , A を通る放物線を y =-a⁢ x2+ b⁢x とする.ただし, a>0 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) b を a の式で表せ.
(2) y=-a ⁢x2 +b⁢ x と x 軸とで囲まれた図形が, ▵OAB に含まれるような, a の値の範囲を求めよ.
(3) y=-a ⁢x2 +b⁢ x と x 軸とで囲まれた図形の面積が ▵OAB の面積の 13 となるとき, a の値を求めよ.
2011-10321-0104
望星塾さんの解答(PDF10頁19行目)へ
【4】 a ,b ,c ,d を正の実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 不等式 a ⁢b≦ a +b2 を示せ.
(2) 不等式 a⁢b⁢ c⁢d4 ≦ a+b+ c+d4 を示せ.
(3) 不等式 a⁢b3 4≦ a +3⁢b 4 を示せ.
2011-10321-0105
望星塾さんの解答(PDF1頁3行目)へ
理,工学部
【1】 行列 A= ( 01 -1 1 ) について,次の問いに答えよ.
(1) A2 , A3 を求めよ.
(2) An= ( 10 01 ) となる最小の自然数 n を求めよ.
(3) A+A2 +A3 +⋯+ A100 を求めよ.
2011-10321-0106
望星塾さんの解答(PDF1頁26行目)へ
理,工,医,歯学部
文系学部【2】の類題
(1) 動点 A が 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, p1 , p2 を求めよ.
(2) 動点 A が 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, pn を求めよ.
(3) 動点 A が 1 秒ごとに正の向きに 3 または負の向きに 1 移動するとき, pn を求めよ.
2011-10321-0107
望星塾さんの解答(PDF3頁4行目)へ
文系学部【1】の類題
【3】 ▵OAB において, OA=1 ,OB=AB =2 とし, OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(2) ∠AOB の二等分線上の点 P が AP =BP を満たすとき,線分 AP の長さを求めよ.
2011-10321-0108
望星塾さんの解答(PDF4頁15行目)へ
【4】 関数
f⁡( x)= { t( 0≦t≦ π) 2⁢ π-t (π <t≦2 ⁢π )
に対して,次のように 2 つの関数 g⁡ (x ) ,h⁡ (x ) を 0≦ x≦2⁢ π で定義する.
g⁡( x)= ∫02⁢ π⁡ f⁡( t)⁢ cos⁡( t+x) ⁢dt ,h⁡( x)= ∫ 02⁢π ⁡ f⁡(t )⁢sin ⁡(t +x)⁢ dt
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数 g⁡ (x ), h⁡( x) を求めよ.
(2) x が 0≦ x≦2⁢ π の範囲を動くとき,関数 y= g⁡( x)+ h⁡( x) の最大値と最小値を求めよ.
2011-10321-0109
望星塾さんの解答(PDF5頁25行目)へ
理(数,物),工,医,歯学部
【5】 実数 a , b ,c に対して, 3 次関数 f⁡ (x) =x3 +a⁢x 2+b⁢ x+c を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( -1) ,f⁡ (0 ), f⁡( 1) が整数であるならば,すべての整数 n に対して, f⁡( n) は整数であることを示せ.
(2) f⁡( 2010) ,f⁡ (2011 ), f⁡( 2012) が整数であるならば,すべての整数 n に対して, f⁡( n) は整数であることを示せ.