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2011 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

理系学部【3】の類題

易□ 並□ 難□

【1】  OAB において, OA=1 OB=AB =2 とし, OA =a OB =b とおく.実数 t に対して,

OP =t ( a + 12 b )

とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 a b を求めよ.

(2)  AP=BP を満たすとき, t の値を求めよ.さらに線分 AP の長さを求めよ.

2011 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

理系学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 数直線上の動点 A がはじめ原点にある.動点 A 1 秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ 12 の確率で指定された長さを移動するものとする. n 秒後に動点 A が原点に戻る確率を p n とする.ただし, n は自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 動点 A 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, p1 p2 p3 p4 を求めよ.

(2) 動点 A 1 秒ごとに正の向きに 2 または負の向きに 1 移動するとき, p6 を求めよ.

2011 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の 3 点を O (0 ,0) A (4 ,0) B (3 ,3) とする. 2 O A を通る放物線を y =-a x2+ bx とする.ただし, a>0 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  b a の式で表せ.

(2)  y=-a x2 +b x x 軸とで囲まれた図形が, OAB に含まれるような, a の値の範囲を求めよ.

(3)  y=-a x2 +b x x 軸とで囲まれた図形の面積が OAB の面積の 13 となるとき, a の値を求めよ.

2011 新潟大学 前期

経済,人文,教育,農学部

易□ 並□ 難□

【4】  a b c d を正の実数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 不等式 a b a +b2 を示せ.

(2) 不等式 ab cd4 a+b+ c+d4 を示せ.

(3) 不等式 ab3 4 a +3b 4 を示せ.

2011 新潟大学 前期

理,工学部

易□ 並□ 難□

【1】 行列 A= ( 01 -1 1 ) について,次の問いに答えよ.

(1)  A2 A3 を求めよ.

(2)  An= ( 10 01 ) となる最小の自然数 n を求めよ.

(3)  A+A2 +A3 ++ A100 を求めよ.

2011 新潟大学 前期

理,工,医,歯学部

文系学部【2】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 数直線上の動点 A がはじめ原点にある.動点 A 1 秒ごとに数直線上を正の向きまたは負の向きにそれぞれ 12 の確率で指定された長さを移動するものとする. n 秒後に動点 A が原点に戻る確率を p n とする.ただし, n は自然数とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 動点 A 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, p1 p2 を求めよ.

(2) 動点 A 1 秒ごとに正の向きに 1 または負の向きに 1 移動するとき, pn を求めよ.

(3) 動点 A 1 秒ごとに正の向きに 3 または負の向きに 1 移動するとき, pn を求めよ.

2011 新潟大学 前期

理,工,医,歯学部

文系学部【1】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  OAB において, OA=1 OB=AB =2 とし, OA =a OB =b とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 a b を求めよ.

(2)  AOB の二等分線上の点 P AP =BP を満たすとき,線分 AP の長さを求めよ.

2011 新潟大学 前期

理,工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【4】 関数

f( x)= { t 0t π 2 π-t π <t2 π

に対して,次のように 2 つの関数 g (x ) h (x ) 0 x2 π で定義する.

g( x)= 02 π f( t) cos( t+x) dt h( x)= 02π f(t )sin (t +x) dt

このとき,次の問いに答えよ.

(1) 関数 g (x ) h( x) を求めよ.

(2)  x 0 x2 π の範囲を動くとき,関数 y= g( x)+ h( x) の最大値と最小値を求めよ.

2011 新潟大学 前期

理(数,物),工,医,歯学部

易□ 並□ 難□

【5】 実数 a b c に対して, 3 次関数 f (x) =x3 +ax 2+b x+c を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f( -1) f (0 ) f( 1) が整数であるならば,すべての整数 n に対して, f( n) は整数であることを示せ.

(2)  f( 2010) f (2011 ) f( 2012) が整数であるならば,すべての整数 n に対して, f( n) は整数であることを示せ.

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