2011　金沢大学　前期　理工，医系学域MathJax

【１】　座標平面上に点$\mathrm{A}(2\cos \theta ,2\sin \theta )\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{4}{3}},0)\text{，}\mathrm{C}(\cos \theta ,-\sin \theta )$がある．ただし，$0<\theta <\pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S(\theta )$を求めよ．

(3)　面積$S(\theta )$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -\sqrt{3}\\ 1& 1\end{array}\right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．また，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$a_n\text{，}{b}_n$を

$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$P^{-1}$および$B$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(3)　実数$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．このとき

$[{(2+\sqrt{3})}^n]=a_n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．また

$c_n={(2+\sqrt{3})}^n-[{(2+\sqrt{3})}^n]$

とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，不等式$1-\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{8}}$を示せ．

(2)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^2}{x}^n{e}^{x}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$I_1$の値を求めよ．

　さらに，等式$I_n=2^n{e}^2-n{I}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$I_2\text{，}{I}_3\text{，}{I}_4$および$I_5$の値を求めよ．

(4)　不等式${\displaystyle {\int }_0^4}(1-\cos {\displaystyle \frac{x}{2}})e^{\sqrt{x}}dx\leqq -2e^2+30$を示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対して，${\displaystyle {\int }_n^{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$を求めよ．また

${\displaystyle \frac{1}{n+1}}<\log (n+1)-\log n<{\displaystyle \frac{1}{n}}$

を示せ．

(2)　$2$以上の自然数$n$に対して

$\log (n+1)<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k}}<1+\log n$

を示せ．

(3)　$2$以上の自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{e{e}^{\frac{1}{2}}{e}^{\frac{1}{3}}\cdots e^{\frac{1}{k}}}}>{\displaystyle \frac{1}{e}}\log (n+1)$

を示せ．