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2011-10421-0101
2011 信州大学 前期 教育学部
数学 ①
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 x を未知数とする 3 次方程式
x3+ (2⁢ t-2) ⁢x2 +( t3-3 ⁢t+2 )⁢x +1=0
の 3 つの解を α , β ,γ とする. t>0 ならば, α2 +β2 +γ 2≦0 であることを示しなさい.
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【2】 座標平面上で a → を単位ベクトルとし,任意のベクトル x → ,y→ に対して,ベクトル u→ , v→ を次のように定める:
u→ =-x →+2 ⁢( x→⋅ a→ )⁢ a→ , v→ =-y →+2 ⁢( y→⋅ a→ )⁢ a→
(1) 次の等式が成り立つことを示しなさい:
u→ ⋅a→ =x→ ⋅a →
(2) 次の等式が成り立つことを示しなさい:
| u→- v→ |= | x→- y→ |
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【3】 数列 { an} ,{ bn } が次のように定められている:
a1= 3 2 ,b1 = 12
an+ 1= 12 ⁢ an + 32 ⁢ bn (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
bn+ 1=- 3 2⁢ a n+ 12⁢ b n (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) an2 +bn 2 を求めなさい.
(2) an+ 3 と a n の関係式および b n+3 と b n の関係式をそれぞれ求めなさい.
(3) an ,bn を求めなさい.
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数学 ② 【2】の類題
【4】(1) 2 次関数
f⁡( x)= -x2 +a ,g⁡ (x) =( x-a) 2
のグラフが異なる 2 点で交わるとき, a の範囲を求めなさい.
(2) (1)のとき, 2 つの曲線 y= f⁡( x) ,y=g ⁡(x ) のグラフが囲む図形の面積を a で表しなさい.
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数学 ②
【1】 正の数 a 1 ,a2 , ⋯, an と自然数 n≧ 2 に対して,次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい.
∑ i=1 n⁡ ai1 +ai > a1+ a2+⋯ +an 1+a1 +a2 +⋯+a n
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数学 ① 【4】の類題
【2】(1) 2 次関数
f⁡ (x) =-x2 +a ,g⁡ (x) =( x-a) 2
(2) (1)のとき, 2 つの曲線 y= f⁡( x) ,y=g ⁡(x ) のグラフが囲む図形の面積 S を a で表し, S≦ 13 であることを示しなさい.
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数学 ③
【1】 だ円 C: x 2a2 + y2b 2= 1( a> 0, b>0 ) の外側の点 P (r ,s) から C に引いた 2 つの接線が常に直交するとき,そのような点 P の軌跡を求めなさい.
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【2】(1) a を実数とするとき,関数
f⁡( x)= (x- a)⁢ (ex +ea )-2 ⁢( ex- ea)
について, x>a ならば, f⁡( x)> 0 であることを示しなさい.
(2) 曲線 y= ex 上で, x 座標が a , b, log⁡ ea+ eb2 (a <b ) である点をそれぞれ A , B ,C とする.点 C における曲線 y =ex の接線の傾きは,直線 AB の傾きより大きいことを示しなさい.