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2011-10421-0401
2011 信州大学 後期 理学部数IAIIB
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 とする.放物線 y= x2 上の点 A (a ,a2 ) における接線と x 軸の交点を B とし, ∠OBA の 2 等分線を l とする.このとき, l と y 軸の交点の座標を求めよ.
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【2】 0<θ< π 4 とする.数列 { an} が条件
a1= 0, an≧ 0 ,an +1- sin ⁡θ2 ⁢ an2 - sin⁡θ 2 <0 (n =1 ,2 ,3 ,⋯)
をみたすとき,
an< 1 -cos⁡ 2⁢θ 2⁢ sin⁡θ ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
を示せ.
2011-10421-0403
【3】 四角形 ABCD において,対角線 AC , BD の交点 O は,線分 AC , BD をそれぞれ
AO:OC= 1:2 , BO:OD= 1:1
に内分するとする.また,辺 AB , CD の中点をそれぞれ E , F とし,四角形 AEFD の対角線の交点を P , 四角形 EBCF の対角線の交点を Q とする.
(1) OP→ を, OA→ と OB → を用いて表せ.
(2) OQ→ を, OA→ と OB → を用いて表せ.
(3) PO:OQ を求めよ.
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【4】 関数
f⁡( θ)= ∫ sin⁡θ 2⁢sin⁡ θ⁡ ( 17 ⁢ x2+ 13 ⁢x -3 4) ⁢dx
の区間 0≦ θ≦2⁢ π における最大値と最小値を求めよ.また,そのときの θ の値を求めよ.