2011　信州大学　後期　理数IAIIBMathJax

2011　信州大学　後期　理学部数IAIIB

易□　並□　難□

【１】　 $a > 0$ とする．放物線 $y = x^{2}$ 上の点 $A (a, a^{2})$ における接線と $x$ 軸の交点を $B$ とし， $∠ OBA$ の $2$ 等分線を $l$ とする．このとき， $l$ と $y$ 軸の交点の座標を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $0 < θ < \frac{π}{4}$ とする．数列 ${a_{n}}$ が条件

$a_{1} = 0 ， a_{n} ≧ 0 ， a_{n + 1} - \frac{\sin θ}{\sqrt{2}} {a_{n}}^{2} - \frac{\sin θ}{\sqrt{2}} < 0 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

をみたすとき，

$a_{n} < \frac{1 - \sqrt{\cos 2 θ}}{\sqrt{2} \sin θ} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

を示せ．

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【３】　四角形 $ABCD$ において，対角線 $AC ， BD$ の交点 $O$ は，線分 $AC ， BD$ をそれぞれ

$AO : OC = 1 : 2 ， BO : OD = 1 : 1$

に内分するとする．また，辺 $AB ， CD$ の中点をそれぞれ $E ， F$ とし，四角形 $AEFD$ の対角線の交点を $P ，$ 四角形 $EBCF$ の対角線の交点を $Q$ とする．

(1)　 $\vec{OP}$ を， $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表せ．

(2)　 $\vec{OQ}$ を， $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表せ．

(3)　 $PO : OQ$ を求めよ．

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【４】　関数

$f (θ) = \int_{\sin θ}^{2 \sin θ} (\frac{1}{7} x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}) d x$

の区間 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの $θ$ の値を求めよ．