2011　信州大学　後期　理数IIIC医MathJax

【１】　$a>0$とする．放物線$y=a{x}^2$が，円$x^2+{(y-1)}^2=1$と，原点以外に$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$a$がこの範囲を動くとき，放物線と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　実数$a$に対し，$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)$とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

とする．

(1)　$x_n+y_n={(1+a)}^n$を示せ．

(2)　$x_n\text{，}{y}_n$を求めよ．

【３】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}{\sin }^{n}xdx$

とおく．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(2)　$0\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3\cdot 2^{n+1}}}$を示せ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n)$の和を求めよ．

【１】　$a>0$とする．放物線$y=a{x}^2$が，円$x^2+{(y-1)}^2=1$と，原点以外に$2$つの共有点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．また，$a$がこの範囲を動くとき，放物線と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積$S(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【２】　原点を中心とする半径$1$の円$S$と点$\mathrm{A}(x,y)$を考える．ただし，$|x|<1\text{，}y>1$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(-1,0)$を結ぶ直線と円$S$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}(1,0)$を結ぶ直線と円$S$との交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$および点$\mathrm{E}$から$x$軸に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{F}$および$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{DG}$と直線$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき直線$\mathrm{AM}$は$x$軸に直交することを示せ．

【３】　一辺の長さが$1$である正方形の紙を$2$本の対角線の交点を通る直線で折る．このとき，紙が重なる部分の面積の最小値を求めよ．

【４】　実数$a$は$0\leqq a\leqq 2\pi$をみたすとする．$x>0$のとき，不等式

$x^3-3\log \{(2\sin 3a-4{\cos }^{2}a+5)x\}-1+6\log 2\geqq 0$

が成り立つように，実数$a$の値の範囲を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　和${\displaystyle \frac{{}_{n}C_0}{2}}+{\displaystyle \frac{{}_{n}C_1}{2\cdot 2^2}}+{\displaystyle \frac{{}_{n}C_2}{3\cdot 2^3}}+{\displaystyle \frac{{}_{n}C_3}{4\cdot 2^4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{{}_{n}C_n}{(n+1)2^{n+1}}}$を求めよ．

(2)　　実数$a$に対し，$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)$とする．$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

とする．このとき，$x_n+y_n={(1+a)}^n$を示せ．また，$x_n\text{，}{y}_n$を求めよ．