2011 名古屋工業大学 後期

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2011 名古屋工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 正の数列 { an } の初項から第 n 項までの積を b n とおくとき,条件

2an bn =an +3 bn n=1 2 3

がみたされている.このとき次の問いに答えよ.

(1)  a1 を求めよ.

(2) 数列 { bn } のみたす漸化式を求めよ.

(3) 数列 { bn } の一般項を n の式で表せ.

(4) 極限値 lim n a n を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 次の条件をみたす四角錐 O ABCD を考える.

(ⅰ) 四角形 ABCD 1 辺の長さが 1 の正方形である.

(ⅱ)  OA=OB= OC=OD= 2

線分 OB 上の点 E を,線分の長さの和 AE +EC が最小になるようにとる. 3 A C E を通る平面と直線 OD との交点を F とおく.

(1) 四角錐 O ABCD の体積 V 1 を求めよ.

(2) 線分 OE OF の長さを求めよ.

(3) 四角錐 O AECF の体積 V 2 を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  t>0 とする. x の関数 f (x) =x 2+ tlog x に対して,曲線 C 1:y =f( x) を考える.直線 y =x に関して C 1 と対称な曲線を C 2 とする. C1 上の点と C 2 上の点の距離の最小値を g (t ) とおく.

(1)  C1 と直線 y= x が共有点を持つような t の値の範囲を求めよ.

(2)  g( x) を求めよ.

(3)  t を変化させたときの g (t ) の最大値とそのときの t の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 座標空間内で次の条件をみたす立体 K がある.

(ⅰ)  K 2 つの平面 z= 0 z= 1 にはさまれる.

(ⅱ)  0<t< 1 について,平面 z= t による K の切り口は, 1 辺の長さが 1 のひし形で,対角線の 1 つは 2 ( 0,0, t) ( 2t, 0,t ) を結ぶ線分である.

(ⅲ) 平面 z= 0 または z= 1 による K の切り口は線分である.

このとき次の問いに答えよ.

(1) 立体 K の体積を求めよ.

(2) 平面 y = 12 による K の切り口の面積を求めよ.

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