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2011-10483-0201
2011 名古屋工業大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 正の数列 { an } の初項から第 n 項までの積を b n とおくとき,条件
2⁢an ⁢bn =an +3⁢ bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯)
がみたされている.このとき次の問いに答えよ.
(1) a1 を求めよ.
(2) 数列 { bn } のみたす漸化式を求めよ.
(3) 数列 { bn } の一般項を n の式で表せ.
(4) 極限値 lim n→∞ ⁡a n を求めよ.
2011-10483-0202
【2】 次の条件をみたす四角錐 O ‐ABCD を考える.
(ⅰ) 四角形 ABCD は 1 辺の長さが 1 の正方形である.
(ⅱ) OA=OB= OC=OD= 2
線分 OB 上の点 E を,線分の長さの和 AE +EC が最小になるようにとる. 3 点 A , C ,E を通る平面と直線 OD との交点を F とおく.
(1) 四角錐 O ‐ABCD の体積 V 1 を求めよ.
(2) 線分 OE と OF の長さを求めよ.
(3) 四角錐 O ‐AECF の体積 V 2 を求めよ.
2011-10483-0203
【3】 t>0 とする. x の関数 f⁡ (x) =x 2+ t⁢log⁡ x に対して,曲線 C 1:y =f⁡( x) を考える.直線 y =x に関して C 1 と対称な曲線を C 2 とする. C1 上の点と C 2 上の点の距離の最小値を g ⁡(t ) とおく.
(1) C1 と直線 y= x が共有点を持つような t の値の範囲を求めよ.
(2) g⁡( x) を求めよ.
(3) t を変化させたときの g⁡ (t ) の最大値とそのときの t の値を求めよ.
2011-10483-0204
【4】 座標空間内で次の条件をみたす立体 K がある.
(ⅰ) K は 2 つの平面 z= 0 と z= 1 にはさまれる.
(ⅱ) 0<t< 1 について,平面 z= t による K の切り口は, 1 辺の長さが 1 のひし形で,対角線の 1 つは 2 点 ( 0,0, t) ,( 2⁢t, 0,t ) を結ぶ線分である.
(ⅲ) 平面 z= 0 または z= 1 による K の切り口は線分である.
このとき次の問いに答えよ.
(1) 立体 K の体積を求めよ.
(2) 平面 y = 12 による K の切り口の面積を求めよ.