2011　京都大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$12\text{，}11\text{，}10$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　箱の中に，$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$X$とする．これらのカードを箱に戻して，再び$2$枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を$Y$とする．$X=Y$である確率を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{7}$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めよ．

【３】　実数$a$が変化するとき，$3$次関数$y=x^3-4x^2+6x$と直線$y=x+a$のグラフの交点の個数はどのように変化するか．$a$の値によって分類せよ．

【４】　$xy$平面上で，連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x|\leqq 2\text{，}\\ y\geqq x\text{，}\\ y\leqq |{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3|-2\end{array}$

を満たす領域の面積を求めよ．

【５】　$0$以上の整数を$10$進数で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0$は$0$桁の数と考えることにする．また$n$は正の整数とする．

(1)　各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　各桁の数が$0\text{，}1\text{，}2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての整数の総和を$S_n$とする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれば，$0.301<{\log }_{10}2<0.302$および$0.477<{\log }_{10}3<0.478$を用いてもよい．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}(x+1)\sqrt{1+2x^2}dx$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ b& c\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

【３】　$xy$平面上で，$y=x$のグラフと$y=|{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3|-2$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の整数であり，${\displaystyle \frac{1}{2}}<a_j<1\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$であるとき，不等式

$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)>1-(a_1+{\displaystyle \frac{a_2}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{2^{n-1}}})$

が成立することを示せ．

【５】　$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,0,0)\text{，}$$(0,4,0)\text{，}$$(0,0,4)$を通る平面$\alpha$が共有点をもつことを示し，点$(x,y,z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．

【６】　空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．このとき，$4$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を同時に通る球面が存在することを示せ．