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2011-10550-0201
2011 京都工芸繊維大学 後期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 p ,q は p> 0 ,q> 0 を満たす実数とする. xy 平面上の 2 点
A( p-q, (p- q)2 ) ,B (p +q, (p+ q)2 )
を考える.線分 AB の中点を M とし,線分 AB の垂直二等分線と x 軸, y 軸との交点をそれぞれ C (c ,0) ,D (0 ,d) とする.
(1) c ,d を p , q を用いて表せ.
(2) AB=CM が成り立つための p , q についての必要十分条件を求めよ.また,その条件を満たす点 ( p,q ) 全体の集合を p q 平面上に図示せよ.
(3) AB=CM が成り立つとき, d のとりうる値の範囲を求めよ.
2011-10550-0202
【2】 2 以上の自然数 n に対して,関数 f n⁡( x)= (sin ⁡x) n を考える.
(1) 曲線 y= fn⁡ (x) (0< x< π2 ) には変曲点がただ一つ存在することを示せ.また,その変曲点の y 座標 y n を求めよ.
(2) (1)で求めた y n について極限 lim n→∞ ⁡y n を求めよ.ただし, lim h→0 ⁡( 1+h) 1h =e であることを用いてよい.
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【3】 A は 0< A< π2 を満たす定数とする.
(1) 定積分 ∫A π2 ⁡( cos⁡x) ⁢log⁡( sin⁡x) ⁢dx を求めよ.
(2) 定積分 ∫0 A⁡ (cos⁡ x)⁢ log⁡( cos⁡x) ⁢dx を求めよ.
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【4】 xy 平面上の点 (x ,y) で x と y がともに整数であるものを格子点とよぶ. 0 以上の整数 k に対して, |x |+ | y| =k を満たす格子点 ( x,y ) の個数を a k とする.
(1) ak (k =0 ,1 ,2 ,⋯ ) を求めよ.
(2) n を 0 以上の整数とする. |x |+ |y |≦ n を満たす格子点 (x ,y) の全体を
(x1 ,y1 ) ,( x2, y2) ,⋯ ,( xl, yl)
とするとき, l 個の数
( 1 3) | x1 |+ |y 1| , ( 13 ) |x 2| +| y2| , ⋯, ( 13 ) |x l| +| yl |
の総和 Sn を求めよ.