2011　大阪大学　前期MathJax

【１】　実数の組$(x,y,z)$で，どのような整数$l\text{，}m\text{，}n$に対しても，等式

$l\cdot {10}^{x-y}-nx+l\cdot {10}^{y-x}+m\cdot {10}^{x-z}=13l+36m+ny$

が成り立つようなものをすべて求めよ．

【２】　実数の組$(p,q)$に対し，$f(x)={(x-p)}^2+q$とおく．

(1)　放物線$y=f(x)$が点$(0,1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,q)$と接点の座標を求めよ．

(2)　実数の組$(p_1,q_1)\text{，}(p_2,q_2)$に対して，$f_1(x)={(x-p_1)}^2+q_1$および$f_2(x)={(x-p_2)}^2+q_2$とおく．実数$\alpha \text{，}\beta$（ただし$\alpha <\beta$）に対して

$f_1(\alpha )<f_2(\alpha )$かつ$f_1(\beta )<f_2(\beta )$

であるならば，区間$\alpha \leqq x\leqq \beta$において不等式$f_1(x)<f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．

(3)　長方形$R:0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 2$を考える．また，$4$点${\mathrm{P}}_1(0,1)\text{，}{\mathrm{P}}_1(0,0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(1,1)\text{，}{\mathrm{P}}_3(1,0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,0)\text{，}\overrightarrow{v_2}=(1,2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件

(＊)　$(\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3}=c\overrightarrow{p}$

を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,y)$が，実数$s\text{，}t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x\text{，}y$の式で表すことによって示せ．

(2)　$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件(＊)をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件(＊)をみたすことを示せ．

(3)　座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件(＊)をみたす．このような実数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【１】　$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ 1& a\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)　$r>0$および$0\leqq \theta <2\pi$を用いて$A=\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -r\sin \theta \\ r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$と表すとき，$r\text{，}\cos \theta \text{，}\sin \theta$を$a$で表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}(1,0)$に対し，点${\mathrm{Q}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

${\mathrm{Q}}_1=\mathrm{Q}\text{，}{\mathrm{Q}}_{n+1}=f({\mathrm{Q}}_n)$

で定める．$▵\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．

(3)　$f$によって点$(2,7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3<{\log }_{10}2<0.31$を用いてよい．

【２】　実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点$(0,\sin \theta )$および$\mathrm{Q}(8\cos \theta ,0)$を考える．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，平面内で線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の定数とし，$x$の関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．以下，定数はすべて実数とする．

(1)　定数$p\text{，}q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ．

$x\geqq 1$ならば$|px+q|\leqq rx$

(2)　恒等式$(\alpha -\beta )({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)={\alpha }^3-{\beta }^3$を用いて，次をみたす定数$k\text{，}l$が存在することを示せ．

$x\geqq 1$ならば$|\sqrt[3]{f(x)}-x-k|\leqq {\displaystyle \frac{l}{x}}$

(3)　すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)={(x+m)}^3$と表されることを示せ．

【５】　正数$r$に対して，$a_1=0\text{，}{a}_2=r$とおき，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．

$a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1})\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$r_n={\displaystyle \frac{r}{2}}\text{，}$裏がでたとき$r_n={\displaystyle \frac{1}{2r}}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．

(2)　$n\geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．

(3)　数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．

(4)　$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$の最小値を求めよ．