2011　大阪大学　後期MathJax

【１】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C$がある．$n=2$または$n=3$とし，半径$n$の円$C_n$が円$C$に内接して滑ることなく回転していくとする．円$C_n$上に点${\mathrm{P}}_n$がある．最初，円$C_n$の中心${\mathrm{O}}_n$が$(5-n,0)$に，点${\mathrm{P}}_n$が$(5,0)$にあったとして，円$C_n$の中心が円$C$の内部を反時計回りに$n$周して，もとの位置に戻るものとする．円$C$と円$C_n$の接点を${\mathrm{S}}_n$とし，線分$\mathrm{O}{\mathrm{S}}_n$が$x$軸の正の方向となす角を$t$とする．

(1)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を$t$と$n$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_2$の描く曲線と点${\mathrm{P}}_3$の描く曲線は同じであることを示せ．

【２】　$m=2$または$m=3$とする．$n$を自然数とし，$1$以上$n$以下の整数値をとる$m$項の数列$\{a_1,\cdots ,a_m\}$のうち，$1\leqq k\leqq m-1$に対して$2a_k\leqq a_{k+1}$を満たすものの個数を$S_m(n)$とする．

(1)　$S_2(n)$を求めよ．

(2)　$S_3(2n+1)-S_3(2n)=S_2(j)$を満たす自然数$j$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_3(n)}{n^3}}$を求めよ．

【３】　$x\text{，}y$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にある$0$でない実数で，次の等式

${\sin }^{3}x+{\sin }^{3}y={\displaystyle \frac{3\sqrt{15}}{32}}\text{，}{\displaystyle \frac{\sin y}{\sin x}}+{\displaystyle \frac{\sin x}{\sin y}}=3$

を満たすとする．このとき，$x+y$の値を求めよ．

【４】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{A}(-2,0)$を通る直線が$y>0$の範囲にある点$\mathrm{P}$において円$C$と接するとする．自然数$n\geqq 2$に対して点$\mathrm{A}$を通る$(n-1)$本の直線で$\angle \mathrm{OAP}$を$n$等分する．これらの直線を直線$\mathrm{AO}$となす角が小さいものから順に$l_1\text{，}\cdots \text{，}{l}_{n-1}$とし，直線$l_k$と円$C$の$2$つの交点のうち点$\mathrm{A}$に近い方を${\mathrm{Q}}_k\text{，}$他方を${\mathrm{R}}_k$とする．

(1)　${\mathrm{A}{\mathrm{R}}_k}^2-{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_k}^2$を$n$と$k$を用いて表せ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}({\mathrm{A}{\mathrm{R}}_k}^2-{\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_k}^2)$を求めよ．