2011　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=r\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\theta$

を満たす．ただし，$r>0$かつ$0<\theta <\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を$r$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{OB}+\mathrm{AC}$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　一般項が

$a_n={\displaystyle \frac{27}{10}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}$

で与えられる数列$\{a_n\}$の，初項から第$n$項までの和を$b_n$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　楕円

${\displaystyle \frac{x^2}{{({\displaystyle \frac{43}{2}}-b_n)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{{({\displaystyle \frac{81}{10}}+b_n)}^2}}=1$

の面積を$S_n$で表すとき，$S_n$が最大になる自然数$n$と，そのときの$S_n$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点$\mathrm{P}$が行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

で表される$1$次変換で点$\mathrm{Q}$に移されるとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求め，図示せよ．

(2)　(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【４】　次のようなゲームを考える．成功の確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$失敗の確率が$q\text{（}=1-p\text{）}$であるような試行を$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が行い，先に成功した方を勝ちとする．なお，$\mathrm{A}$が勝つ確率が$\mathrm{B}$が勝つ確率より大きいとき，ゲームは$\mathrm{A}$に有利であるといい，$\mathrm{A}$が勝つ確率と$\mathrm{B}$が勝つ確率が等しいとき，ゲームは公平であるという．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$から始めて，以後交互に試行を行う．すなわち，$\mathrm{ABABAB}\cdots$という順で試行を行う．このとき，$p$の値にかかわらずゲームは$\mathrm{A}$に有利であることを示せ．

(2)　$\mathrm{A}$から始めるが，$\mathrm{A}$が$1$回に対して，$\mathrm{B}$は$2$回試行を行えるとする．すなわち，$\mathrm{ABBABB}\cdots$という順で試行を行う．$p$がどのような値のとき，ゲームは公平になるか．

(3)　(2)において，ゲームが公平であるとき，$q$についての等式

$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$

が成り立つことを示せ．