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2011 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】 実数 x y に対して,等式

x2+ y2= x+y

を考える. t=x+ y とおく.以下の問に答えよ.

(1)  の等式が表す xy 平面上の図形を図示せよ.

(2)  x y の等式をみたすとき, t のとりうる値の範囲を求めよ.

(3)  x y の等式をみたすとする.

F=x3 +y3 -x2 y- xy2

t を用いた式で表せ.また, F のとりうる値の最大値と最小値を求めよ.

2011 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上に相異なる 4 A B C D があり,線分 AC BD は原点 O で交わっている.点 A の座標は (1 ,2) で,線分 OA OD の長さは等しく,四角形 ABCD は円に内接している. AOD= θ とおき,点 C x 座標を a 四角形 ABCD の面積を S とする.以下の問に答えよ.

(1) 線分 OC の長さを a を用いた式で表せ.また,線分 OB OC の長さは等しいことを示せ.

(2)  S a θ を用いた式で表せ.

(3)  θ= π6 とし, 20S 40 とするとき, a のとりうる値の最大値を求めよ.

2011 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】 袋の中に 0 から 4 までの数字のうち 1 つが書かれたカードが 1 枚ずつ合計 5 枚入っている. 4 つの数 0 3 6 9 をマジックナンバーと呼ぶことにする.次のようなルールをもつ, 1 人で行うゲームを考える.

[ルール]袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく.ただし,一度取り出したカードは袋に戻さないものとする.取り出したカードの数字の合計がマジックナンバーになったとき,その時点で負けとし,それ以降はカードを取り出さない.途中で負けとなることなく,すべてのカードを取り出せたとき,勝ちとする.

以下の問に答えよ.

(1)  2 枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ.

(2)  3 枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ.

(3) このゲームで勝つ確率を求めよ.

2011 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  i=-1 とする.以下の問に答えよ.

(1) 実数 α β について,等式

(cos α+i sinα ) (cos β+i sinβ )=cos (α +β) +isin (α +β)

が成り立つことを示せ.

(2) 自然数 n に対して,

z= k =1n (cos 2 πkn +i sin 2 πk n)

とおくとき,等式

z ( cos 2 πn +i sin 2π n) =z

が成り立つことを示せ.

(3)  2 以上の自然数 n について,等式

k=1 n cos 2πk n= k=1n sin 2 πk n=0

が成り立つことを示せ.

2011 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問に答えよ.

(1)  t を正の実数とするとき, |x |+ |y | =t の表す x y 平面上の図形を図示せよ.

(2)  a a 0 をみたす実数とする. x y が連立不等式

{ ax +(2 -a) y2 y 0

をみたすとき, |x |+ |y | のとりうる値の最小値 m を, a を用いた式で表せ.

(3)  a a 0 の範囲を動くとき,(2)で求めた m の最大値を求めよ.

2011 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  n 2 以上の自然数として,

Sn= k=n n3 -1 1 klog k

とおく.以下の問に答えよ.

(1)  nn3 d xx logx を求めよ.

(2)  k 2 以上の自然数とするとき,

1 (k +1) log (k+ 1) < k k+1 dxx logx < 1 klog k

を示せ.

(3)  limn Sn の値を求めよ.

2011 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  a は正の無理数で, X=a3 +3 a2- 14a+ 6 Y= a2- 2a を考えると, X Y はともに有理数である.以下の問に答えよ.

(1) 整式 x 3+3 x2- 14x+ 6 を整式 x 2-2 x で割ったときの商と余りを求めよ.

(2)  X Y の値を求めよ.

(3)  a の値を求めよ.ただし,素数の平方根は無理数であることを用いてよい.

2011 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】 以下の問に答えよ.

(1)  x1 において, x>2 logx が成り立つことを示せ.ただし, e を自然対数の底とするとき, 2.7<e <2.8 であることを用いてよい.

(2) 自然数 n に対して,

(2 nlog n) n< e2n logn

が成り立つことを示せ.

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