2011　岡山大学　前期MathJax

【１】　空間内に点$\mathrm{O}(0,0,0)$と点$\mathrm{A}(2,2,2)$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から出発し，一回につき$x$軸，$y$軸，$z$軸いずれか一つの方向に長さ$1$だけ移動する．

(1)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．

(2)　さいころを投げて$1\text{，}2\text{，}3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4\text{，}5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．

(3)　(2)と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,1,1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が次のように帰納的に定められている．

$a_1=0$

$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}2a_n& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ a_n+1& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{10}$を求めよ．

(2)　$n$が奇数の場合と偶数の場合それぞれについて，$a_{n+4}$を$a_n$で表せ．

(3)　$a_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．

【３】　平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が

$2{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．

(2)　(1)の円の中心を$C$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(3)　$\mathrm{O}$との距離が最小となる(1)の円周上の点を${\mathrm{P}}_0$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が条件

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=0$

を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s\text{，}t$の値を求めよ．

【４】　$p$を定数とする．

$f(x)=x^3+x^2+px+1$

とおく．$y=f(x)$のグラフに傾き$1$の$2$つの異なる接線が引けるという．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p$の範囲を求めよ．

(2)　$2$つの接点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とする．${(\alpha -\beta )}^2$を$p$を用いて表せ．

(3)　$2$つの接線の$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを$p$を用いて表せ．

(4)　$2$つの接線の間の距離が${\displaystyle \frac{8}{27}}$となるような$p$の値を求めよ．

【１】　$t$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}t& t-1\\ 1-t& 2-t\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．

(2)　$A+A^{-1}\text{，}A-A^{-1}\text{，}{(A-A^{-1})}^2$を求めよ．

(3)　$A^{2n}-t{A}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が$n$によらない行列になるという．このときの$t$の値を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の整数とする．$3n$枚のカードに$1$から$3n$までの数字が$1$つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．

(1)　$3$枚のカードの数字がすべて$3$の倍数である確率を求めよ．

(2)　$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数である確率を求めよ．

(3)　$3$枚のカードの数字の積が$3$の倍数である確率と$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

【３】　$n$を自然数とする．曲線$y=x^2{(1-x)}^n\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S_n$とする．

(1)　$S_n$を求めよ．

(2)　$T_n=S_1+S_2+\cdots +S_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

【４】　$f(x)=e^{-x^2}$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$における接線を$l\text{，}$原点$\mathrm{O}$を通り$l$に垂直な直線を$l^{\prime }$とし，$l$と$l^{\prime }$との交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(2)　$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とする．$\sin \theta$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$\sin \theta$を最大にする$a$の値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．