2011　広島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．不等式

${\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}}<{\displaystyle \frac{6}{a}}+{\displaystyle \frac{k}{b}}$

を満たす$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$は定数で，$a>0$とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2-2x+b$の定義域を$-1\leqq x\leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1\leqq y\leqq 7$であるとき，定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}3={\displaystyle \frac{m}{n}}$を満たす自然数$m\text{，}n$は存在しないことを証明せよ．

(2)　$p\text{，}q$を異なる自然数とするとき，$p{\log }_{2}3$と$q{\log }_{2}3$の小数部分は等しくないことを証明せよ．

(3)　${\log }_{2}3$の値の小数第$1$位を求めよ．

【３】　放物線$F:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2$上の点$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通り，$\mathrm{A}$における$F$の接線に垂直な直線を$l$とし，$l$と放物線$F$との交点のうち点$\mathrm{A}$と異なる方を$\mathrm{B}(b,{\displaystyle \frac{1}{2}}{(b+1)}^2)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式と$b$の値を求めよ．

(2)　放物線$F$と直線$l$で囲まれた部分の面積$T_1$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$を直径とする円を$C$とする．このとき，不等式$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2$の表す領域で円$C$の内部にある部分の面積$T_2$を求めよ．

【４】　平面上で，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{O}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に外分する点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{AB}$上にない点とし，$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$が垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PO}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$で表せ．

(3)　$\mathrm{PA}=1\text{，}▵\mathrm{PAB}$の面積が${\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$\mathrm{PB}$の長さを求めよ．

【５】　さいころを$n$回投げる．$k$回目（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）に投げた結果，

$1$または$2$の目が出たとき$X_k=2$，

$3$または$4$の目が出たとき$X_k=3$，

$5$または$6$の目が出たとき$X_k=5$

とする．これらの積を$Y=X_1{X}_2\cdots X_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$n=5$のとき，$Y$が偶数になる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$n=5$のとき，$Y$が$100$の倍数になる確率$p_2$を求めよ．

(3)　$n=2$のとき，$Y$の期待値$E$を求めよ．

【１】　実数$a\text{，}b$に対して，$2$次正方行列$A$と列ベクトル$B$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 2-a\\ 1+a& 2\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{c}2b\\ b\end{array}\right)$

と定め，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．等式

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+B$

により，座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し点${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$が定まるものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a=b=-1$のとき，点${\mathrm{P}}^{\prime }(3,2)$となる点$\mathrm{P}(x,y)$を求めよ．

(2)　$A^2=kE$（$k$は実数）を満たすとき，$a\text{，}k$の値を求めよ．

(3)　どんな点$\mathrm{P}$に対しても点${\mathrm{P}}^{\prime }$が原点$\mathrm{O}$に一致しないための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とする．関数$f(x)=a{\cos }^{2}x+2b\cos x\sin x+c{\sin }^{2}x$が定数となるための$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．

(2)　関数

$g(x)=4{\cos }^{2}x+2\cos x\sin x+{\sin }^{2}x-{\displaystyle \frac{5}{2}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta \text{，}\sin 2\theta$の値を求めよ．

(3)　(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\theta }}g(x)dx$を求めよ．

【４】　平面上で，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を中心とする半径$\mathrm{OB}$の円を$S\text{，}$円$S$と直線$\mathrm{AB}$との交点のうち点$\mathrm{B}$と異なる方を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}$は円$S$の内部にあり，線分$\mathrm{BC}$上にないものとする．円$S$と直線$\mathrm{PB}$との交点のうち点$\mathrm{B}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\angle \mathrm{APB}=\theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PO}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$S$の内部にあることを用いて，$\cos \theta <{\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{4\left|\overrightarrow{a}\right|}}$を証明せよ．

(3)　$\mathrm{PQ}$の長さを$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\theta$で表せ．

(4)　$\mathrm{PA}=3\text{，}\mathrm{PB}=2$とする．$▵\mathrm{QAB}=3▵\mathrm{POB}$を満たすとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{ABC}$の頂点は反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順に並んでいるとする．点$\mathrm{A}$を出発した石が，次の規則で動くとする．

コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．

コインを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

コインを$n$回投げたとき，石が点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$で表せ．また，$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$および$a_3\text{，}{b}_3\text{，}{c}_3$の値を求めよ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$のうち$2$つの値が一致することを証明せよ．

(4)　(3)において一致する値を$p_n$とする．$p_n$を$n$で表せ．