2011　広島大学　後期MathJax

【１】　$p$を正の定数とする．数列$\{a_n\}$は次の条件をみたす．

$a_1=2\text{，}{a}_2=p\text{，}{a}_{n+2}=(p+1)a_{n+1}-p{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$をみたす定数$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}$を求めよ．

(4)　$0<p<1$のとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(a_n-{\displaystyle \frac{p}{p-1}})$を求めよ．

【２】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-1\leqq 0\\ x+2y-2\leqq 0\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　$a$を実数とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，$ax+y$の最小値を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$を実数とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，$ax+y$の最大値を$a$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)$と$g(x)$は

$f^{\prime }(x)=g(x)\text{，}f(0)=f(\pi )=0$

をみたすとする．このとき，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{x}f(x)dx\text{，}J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{x}g(x)dx$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$I$を$J$の式で表せ．

(2)　条件

$g^{\prime }(x)=-f(x)\text{，}g(0)=1\text{，}g(\pi )=-1$

をみたすとき，$I$の値を求めよ．

(3)　$\sin (x+a)$を$\sin x\text{，}\cos x\text{，}\sin a$と$\cos a$の式で表すことにより，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\sin (x+a)dx$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．ただし，$0\leqq a<2\pi$とする．

【４】　空間に$3$点$\mathrm{A}(0,0,3)\text{，}\mathrm{B}(2,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,-1,1)$がある．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点$(0,0,0)$を表し，$t$は$0<t<1$をみたす数とする．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{BC}$上に，$2$直線$\mathrm{BC}$と$\mathrm{QD}$が垂直となるように，点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+s\overrightarrow{\mathrm{BC}}$をみたす定数$s$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{BCQ}$の面積を$t$の式で表せ．また，$▵\mathrm{BCQ}$の面積の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【５】　ジョーカーを除いた$52$枚のカードからなるトランプがある．各カードには，$4$種類の絵柄$\mathrm{♠}\text{，}\mathrm{♥}\text{，}\mathrm{♦}\text{，}\mathrm{♣}$のうちの$1$つと，$13$種類の番号$\mathrm{A}\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{，}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}10\text{，}\mathrm{J}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{K}$のうちの$1$つが書かれている．絵柄と番号の両方が同じカードは$1$枚のみであるとする．このようなトランプを$2$組用意するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$組のトランプから，それぞれ$1$枚のカードを引く．この$2$枚のカードの番号が同じである確率を求めよ．

(2)　$2$組のトランプから，それぞれ$1$枚のカードを引く．この$2$枚のカードの絵柄は異なるが，番号が同じである確率を求めよ．

(3)　$2$組のトランプから，それぞれ$1$枚のカードを引き，

$\{\begin{array}{l}\text{この}2\text{枚のカードの絵柄も番号も同じであれば，}12\text{点}\\ \text{この}2\text{枚のカードの絵柄は事なるが，番号が同じであれば，}8\text{点}\\ \text{この}2\text{枚のカードの絵柄は同じであるが，番号が異なれば，}1\text{点}\\ \text{この}2\text{枚のカードの絵柄も番号も異なれば，}-1\text{点}\end{array}$

の得点が与えられる．この得点の期待値を求めよ．

【１】　座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$を点$\mathrm{Q}(X,Y)$に移す点の移動$f$が行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を用いて，

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

で表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上のすべての点$\mathrm{P}(x,y)$と，その$f$による移動後の点$\mathrm{Q}(X,Y)$との間に，

$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{X^2+Y^2}$

という関係が成り立つとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の満たす条件を求めよ．

(2)　(1)の$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の条件のもとで，移動$f$により，点$(1,1)$が点$(0,2q)$に，点$(1,-1)$が点$(2q,r)$に，それぞれ移されるとき，行列$A$および，$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

【２】　三角錐$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$が成り立つとする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OP}$をおろし，$\mathrm{OP}=h$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$は$▵\mathrm{ABC}$の外心であることを示せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2l$を満たす正三角形であるとする．このとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積を$l\text{，}h$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件のもと，$▵\mathrm{OAB}$の面積が$1$であるように$l\text{，}h$が動くとする．三角錐$\mathrm{OABC}$の体積が最大となるときの$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．

【３】　$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)(2n-1)}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{1-\frac{1}{n}}}\log (1+x)dx\leqq \log a_n\leqq {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}\log (1+x)dx$を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$a\text{，}b$を$11$で割った余りを，それぞれ$r\text{，}s$とする．$a+b$を$11$で割った余りと$r+s$を$11$で割った余りは等しく，また$ab$を$11$で割った余りと$rs$を$11$で割った余りは等しいことを示せ．

(2)　$a\text{，}b$を自然数とする．$a^2+b^2$が$11$の倍数ならば，$a$も$b$も$11$の倍数であることを示せ．

(3)　袋に$1$から$10$までの自然数を書いた玉が$1$個ずつ，合計$10$個入っている．この袋から$3$つの玉を同時に取り出し，書いてある数を$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a^2+b^2+c^2$が$11$で割り切れる確率を求めよ．

【５】　正六角形の頂点を反時計回りに${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{A}}_5$とし，次のルールに従って石を動かすゲームを行うことにする．ただし，コインの表と裏が出る確率は，ともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．

(a)　${\mathrm{A}}_0$を石の出発点とする．

(b)　コインを投げ，表が出たら反時計回りに隣の頂点へ，裏が出たら時計回りに隣の頂点に石を移動する．

(c)　石が${\mathrm{A}}_3$（${\mathrm{A}}_0$のちょうど反対側の頂点）にきたら，ゲームを終了し，石が${\mathrm{A}}_3$以外の頂点にきたら，ゲームを続行する．

このゲームにおいて，$2n+1$回（$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$）コインを投げても，ゲームが終了していない確率を$p_n\text{，}$ちょうど$2n+1$回（$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$）のコイン投げで，ゲームが終了する確率を$q_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　コインを奇数回投げてもゲームが終了していなかったとき，その時点で，石がある可能性のある頂点をすべてあげよ．

(2)　$p_n$の満たす漸化式を求めよ．

(3)　$p_n$と$q_n$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{q}_n$を求めよ．