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2011-10821-0101
2011 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
配点は70点
易□ 並□ 難□
【1】 空間ベクトル a →=( -1,3 ,-2) ,b→ =(1 ,-1, 0) ,c→ =a→ +t⁢ b→ とするとき,次の問いに答えよ.ただし, t は任意の正の実数とする.
(1) 内積 a →⋅ b→ と a →⋅ c→ を求めよ.
(2) a→ と c → が垂直になるときの t の値を求めよ.
(3) | c→ | 2 を t で表せ.
(4) | c→ | の最小値とそのときの t の値を求めよ.
(5) | c→ |= | a→ | となる t の値を求めよ.
2011-10821-0102
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科 共通問題
配点は教育学部60点,理学部100点,理学部,医学科は【1】
【2】 関数 f⁡ (x) =4x +4- x-2 2+x -2 2-x +2 について,次の問いに答えよ.
(1) t=2x +2 -x とおいて, f(x ) を t で表せ.
(2) t の値の範囲を求めよ.
(3) 関数 f⁡ (x ) の最小値とそのときの x の値を求めよ.
(4) 方程式 f⁡ (x) =0 を解け.
2011-10821-0103
配点60点
【3】 方程式 x 2+y 2-2 ⁢x+6 ⁢y-6 =0 で表される図形を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 図形 C を図示せよ.
(2) 直線 2⁢ x+3⁢ y=k が,図形 C を 2 等分するような定数 k の値を求めよ.
(3) 図形 C と直線 2⁢ x+3⁢ y=k が異なる共有点を 2 個もつような定数 k の値の範囲を求めよ.
(4) 図形 C に接し,傾きが - 23 である直線の方程式を求めよ.
2011-10821-0104
【4】 関数 f⁡ (x) =x2 -x-2 ⁢| x| について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフをかけ.
(2) y=m⁢ x と y= f⁡( x) とが異なる 2 つの共有点をもつような m の値の範囲を求めよ.
(3) y=m⁢ x と y= f⁡( x) とが異なる 3 つの共有点をもつとき,これらにより囲まれる 2 つの部分の面積の和 S を m で表せ.
(4) S の最小値とそのときの m の値を求めよ.
2011-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
配点は100点
【2】 n を 2 以上の自然数とする。平面上に距離が 1 である 2 点 O , P0 がある.中心が O で半径 1 の円周上に点 P k ( k=1 ,2 , ⋯, n ) を反時計回りに ∠ Pk O P0 = k⁢π n となるようにとる.三角形 Pk OP k-1 の面積を T k と表し, Sn= ∑ k=1 n⁡ Tk とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) S2 を求めよ.
(2) Sn を n で表せ.
(3) limn→ ∞⁡ Sn を求めよ.
(4) ek を線分 Pk -1 Pk の長さとおいて, En= ∑ k=1 n⁡ ek とする.このとき, Sn= 1 2⁢ E n⁢sin ⁡ (n- 1)⁢ π2⁢ n を示せ.
(5) limn- ∞⁡ En を求めよ.
2011-10821-0106
【3】 連続間数 f⁡ (x) に対して,
g⁡( x)= ∫ 0x⁡ (f⁡ (t) +2) ⁢sin⁡( x-t) ⁢dt
とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定積分 ∫0x ⁡( t+2) ⁢sin⁡( x-t) ⁢dt を求めよ.
(2) g⁡( x)= sin⁡x⁢ ∫ 0x⁡ (f⁡ (t) +2) ⁢cos⁡t ⁢dt- cos⁡x⁢ ∫ 0x⁡ (f⁡ (t) +2)⁢ sin⁡t⁢d t を示せ.
(3) 関数 g⁡ (x ) の導関数 g ′⁡( x) は g′⁡ (x) = ∫0x ⁡(f ⁡(t )+2 )⁢cos ⁡(x -t)⁢ dt となることを示せ.
(4) 関数 g ′⁡( x) の導関数 g ″⁡( x) は g ″⁡( x)=f ⁡(x )-g ⁡(x )+2 となることを示せ.
(5) 任意の実数 x に対して g⁡ (x) =f⁡( x) が成り立つとき, f⁡( x) を求めよ.
2011-10821-0107
【4】 n を自然数とし, θ を cos⁡ θ=- 1 3 であるような実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) cos⁡( n+1) ⁢x=2 ⁢cos⁡n ⁢x⁢cos ⁡x-cos ⁡(n -1) ⁢x が成り立つことを示せ.
(2) cos⁡n⁢ θ は m3n という形の分数で表されることを示せ.ただし, m は整数で | m| は 3 を約数にもたない.
(3) (2)を用いて θπ は無理数であることを示せ.