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2011-10821-0201
2011 高知大学 医学科AO入試
総合問題I
易□ 並□ 難□
【1】 次の連立不等式
{ 0<x +y<1 x2 +y2 <1 logx +y⁡ (x2 +y2 )≦ logx2 +y2 ⁡ (x+ y)
の表す領域を S とする.このとき,次の設問に答えなさい.
設問1 S を図示しなさい.
設問2 点 ( 13 , -1 6 ) が S に含まれるかどうか判定しなさい.
設問3 S には
( 1m ,- 1n ) , m と n は自然数
と表される点が無限に多く含まれることを示しなさい.
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【2】 コイン投げの結果にもとづいて,数直線の整数点の上を点 P が次に説明するように移動する.
点 P は最初は原点にある.コインの表が出る確率は p である.ただし, 0<p <1 である.コイン投げで表が出たら P は正の方向に 1 移動する.裏が出たら負の方向に 2 移動する.このような試行を n 回繰返したときに P のいる位置を Xn と定義する ( n≧1 ). このとき, X n=0 となる確率を Q n とおき,次の設問に答えなさい.
設問1 Q1 ,Q2 , Q3 をそれぞれ求めなさい.
設問2 n≧4 のとき, Qn を求めなさい.
設問3 p= 12 のとき, Xn が偶数(符号は問わない)である確率 R n を求めなさい.
2011-10821-0203
【3】 次の設問に答えなさい.
設問1 次の連立方程式
{ x2 +y2 =1 y=-2 (3 -2 )⁢x 2+3 - 22
の解のうち, x≧0 かつ y≧ 0 となるものをすべて求めなさい.
設問2 0≦x≦ 1 に対して, 2 つの関数
f⁡( x)= 1-x 2
g⁡( x)= -2( 3- 2) ⁢x2 +3- 2 2
を用いて,関数 h⁡ (x ) を次のように定義する.
h⁡( x)= { f⁡( x) f⁡( x)≧ g⁡( x) の場合g ⁡(x )f ⁡(x )<g ⁡(x ) の場合
このとき,関数 y= h⁡( x) のグラフを描き,積分
∫ 01 ⁡h⁡( x)⁢ dx
を求めなさい.