2011 九州大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2011 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

理系【1】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 放物線 y= x2 上の点 P (t ,t2 ) から直線 y= x への垂線を引き,交点を H とする.ただし, t>1 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  H の座標を t を用いて表せ.

(2)  P を通り y 軸に平行な直線と直線 y= x との交点を R とするとき,三角形 PRH の面積を t を用いて表せ.

(3)  x1 の範囲において,放物線 y= x2 と直線 y= x および線分 PH とで囲まれた図形の面積を S 1 とするとき, S1 t を用いて表せ.

(4) 放物線 y= x2 と直線 y= x で囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 =S2 であるとき, t の値を求めよ.

2011 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

理系【3】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 数列 a 1 a2 an

an+ 1= 2 an 1- an2 n=1 2 3

をみたしているとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a1= 1 3 とするとき, a10 および a 11 を求めよ.

(2)  tan π 12 の値を求めよ.

(3)  a1= tan π 7 とする. ak= a1 をみたす 2 以上の自然数 k で最小のものを求めよ.

2011 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に直角三角形 ABC があり,その斜辺 BC の長さを 2 とする.また,点 O 4 OA -OB - OC= 0 をみたしているとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 辺 BC の中点を M とするとき,点 A は線分 OM の中点となることを示せ.

(2)  | OB | 2+ | OC | 2=10 となることを示せ.

(3)  4 | PA | 2- | PB | 2- | PC | 2=- 4 をみたす点を P とするとき, | OP | の値を求めよ.

2011 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

理系【5】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがある.その 4 枚のカードを横一列に並べ,以下の操作を考える.

操作: 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入っている袋から同時に 2 個の球を取り出す.球に書かれた数字が i j ならば, i のカードと j のカードを入れかえる.その後, 2 個の球は袋に戻す.

始めにカードを左から順に 1 2 3 4 と並べ,上の操作を 2 回繰り返した後のカードについて,以下の問いに答えよ.

(1) カードが左から順に 1 2 3 4 と並ぶ確率を求めよ.

(2) カードが左から順に 4 3 2 1 と並ぶ確率を求めよ.

(3) 左端のカードの数字が 1 になる確率を求めよ.

(4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ.

2011 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬学部)

文系【1】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y= x 上の点 P (t ,t ) から直線 y= x へ垂線を引き,交点を H とする.ただし, t>1 とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  H の座標を t を用いて表せ.

(2)  x1 の範囲において,曲線 y= x と直線 y =x および線分 PH とで囲まれた図形の面積を S 1 とするとき, S1 t を用いて表せ.

(3) 曲線 y= x と直線 y= x で囲まれた図形の面積を S 2 とする. S1 =S2 であるとき, t の値を求めよ.

2011 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  a を正の定数とする.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x) =(x 2+2 x+2 -a2 ) e-x の極大値および極小値を求めよ.

(2)  x3 のとき,不等式 x 3e -x 27 e-3 が成り立つことを示せ.さらに,極限値

limx x2 e-x

を求めよ.

(3)  k を定数とする. y=x2 +2 x+2 のグラフと y= kex +a2 のグラフが異なる 3 点で交わるための必要十分条件を, a k を用いて表せ.

2011 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬学部)

文系【2】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 数列 a 1 a2 an

an+ 1= 2 an 1- an2 n=1 2 3

をみたしているとする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  a1= 1 3 とするとき,一般項 a n を求めよ.

(2)  tan π 12 の値を求めよ.

(3)  a1= tan π20 とするとき,

an+ k= an n=3 4 5

をみたす最小の自然数 k を求めよ.

2011 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 空間内の 4

O( 0,0, 0) A (0 ,2,3 ) B( 1,0,3 ) C( 1,2,0 )

を考える.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  4 O A B C を通る球面の中心 D の座標を求めよ.

(2)  3 A B C を通る平面に点 D から垂線を引き,交点を F とする.線分 DF の長さを求めよ.

(3) 四面体 ABCD の体積を求めよ.

2011 九州大学 前期

理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),

歯,薬学部)

文系【4】の類題

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】  1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがある.その 4 枚のカードを横一列に並べ,以下の操作を考える.

操作: 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入っている袋から同時に 2 個の球を取り出す.球に書かれた数字が i j ならば, i のカードと j のカードを入れかえる.その後, 2 個の球は袋に戻す.

始めにカードを左から順に 1 2 3 4 と並べ,上の操作を n 回繰り返した後のカードについて,以下の問いに答えよ.

(1)  n=2 のとき,カードが左から順に 1 2 3 4 と並ぶ確率を求めよ.

(2)  n=2 のとき,カードが左から順に 4 3 2 1 と並ぶ確率を求めよ.

(3)  n=2 のとき,左端のカードの数字が 1 になる確率を求めよ.

(4)  n=3 のとき,左端のカードの数字に期待値を求めよ.

inserted by FC2 system