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2011-10842-0201
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2011 九州大学 後期
工学部
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 ,b>0 ,0 <α<1 ,0 <β<1 として,以下の問いに答えよ.
1. 初項 a 1=a と漸化式
an+ 1=α ⁢an ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定義された数列 { an } がある.このとき,
xn= log10⁡ an ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
により定まる数列 { xn } の一般項を n , α ,a を用いて表せ.
2. 初項 b 1=b と漸化式
bn+ 1=β ⁢bn 2 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定義された数列 { bn } がある.このとき,
yn= log10⁡ bn ( n= 1 ,2 ,3 ,⋯ )
により定まる数列 { yn } の一般項を n , β ,b を用いて表せ.
3. a=b= 1 のとき,
limn→ ∞⁡ xn+ 1y n+1 =0
を証明せよ.
2011-10842-0202
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
【2】 以下の問いに答えよ.
1. 原点のまわりの角 θ の回転移動を表す行列を R θ とする.回転 R θ によって点 ( 2,1 ) に移されるもとの点 ( a,b ) を求めよ.
2. 原点を通り,傾き tan ⁡θ ( 0<θ < π2 ) の直線を l とする.
また,点 P (x ,y) を直線 l に関して対称移動した点を P ′( x′, y′ ) とする.このとき, x′ と y ′ を x , y および θ を用いて表し,この移動を表す行列 A θ を求めよ.
3. x 軸に関する対称移動を表す行列を B とする.このとき, Rθ ⁢B⁢ Rθ -1 =Aθ となることを示せ.
4. 0<α< π 2 ,0< β< π2 , 0<γ< π2 とする.
2 つの行列の積 A α⁢A β はある角の回転移動を表すことを示せ.また 3 つの行列の積 Aα⁢ Aβ⁢ Aγ によって表される移動は決して回転移動を表さないことを示せ.
2011-10842-0203
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
【3】 座標平面上の楕円 x2a 2+ y 2b2 =1 ( a> b>0 ) について,以下の問いに答えよ.
1. x 座標が小さい方の焦点 F を極とし, F から x 軸の正の方向へ向かう半直線を始線とする極座標 ( r,θ ) で表された楕円の方程式 r =f⁡( θ) を求めよ.
2. 座標平面上の原点 O (0 ,0) と楕円上の 2 点 P 1 ,P 2 について,線分 O P1 と線分 O P2 とが互いに直交する位置にあるとする.線分 O P1 および O P2 の長さをそれぞれ r1 ,r 2 とするとき, 1 r1 2+ 1 r22 の値は定数となることを示せ.
2011-10842-0204
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【4】 関数 f ⁡(x )=- x⁢sin⁡ x ( 0≦x≦ π ) について,以下の問いに答えよ.
1. 0<x< π の範囲で,方程式 f ″⁡( x)= 0 がただ 1 つの解 x =a をもつことを示せ.
2. 上の1.で存在が示された a に対して, a<x< π の範囲で,方程式 f′⁡ (x) =-1 がただ 1 つの解 x =b をもつことを示し,その値 b を求めよ.また,曲線 y =f⁡( x) 上の点 ( b,f⁡ (b )) における法線 m の方程式を求めよ.
3. 上の2.で求めた法線 m と曲線 y= f⁡( x) および y 軸とで囲まれた図形を, x 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積 V を求めよ.
2011-10842-0205
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF8頁)へ
【5】 50 円と 100 円の硬貨が 3 枚ずつの計 6 枚と,さいころが 1 個ある.これらの硬貨 6 枚とさいころ 1 個を同時に投げて,表が出た硬貨の合計額にさいころの目の数 n から 2 を引いた数の絶対値 | n-2 | をかけ合わせた賞金をもらえるものとする.たとえば,硬貨 6 枚すべてが表となり,さいころの目が 6 となった場合,表が出た硬貨の合計額 450 円を 4 倍した 1800 円を賞金としてもらえる.このとき,以下の問いに答えよ.
1. 賞金を全くもらえない確率を求めよ.
2. もらえる賞金が 500 円以上となる確率を求めよ.
3. もらえる賞金の期待値を求めよ.