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2011-10848-0201
2011 九州工業大学 後期
工学部
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 n を 3 以上の自然数とする.サイコロを n 回投げるとき, 1 の目がちょうど 3 回出る確率を p n とする.次に答えよ.
(ⅰ) p4 を求めよ.
(ⅱ) pn+1 pn >1 をみたす n の最大値を求めよ.
(ⅲ) pn が最大となるときの n をすべて求めよ.
(ⅳ) n⁢p n が最大となるときの n を求めよ.
2011-10848-0202
【2】 O を原点とする座標空間に 3 点 A ( 1,0, 0) ,B ( 0,6 ,0) ,C ( 0,0, 1) がある. 0<t <1 とし,線分 OA 上に点 P ( t,0, 0) をとり,線分 OC 上に点 Q ( 0,0, t) をとる.また,線分 BC 上に点 R ( 0,6 ⁢( 1-t) ,t) をとり,線分 AB 上に点 S ( t,6 ⁢(1 -t) ,0) をとる.次に答えよ.
(ⅰ) 内積 PR→⋅ QS→ を t を用いて表せ.
(ⅱ) 四角形 PQRS の面積を f ⁡(t ) とする. f⁡( t) が最大になるときの t の値を求めよ.
(ⅲ) t を(ⅱ)で求めた値とするとき,ベクトル PR → と QS → のなす角 θ を求めよ.
2011-10848-0203
【3】 曲線 C :y= 1 x 上に点 P (s ,1 s) ,Q (t ,1 t) ( 0<s< t) がある.曲線 C の点 P ,Q における法線をそれぞれ l , m とする.直線 l と曲線 C の交点で点 P と異なる点を P′ とし,直線 m と曲線 C の交点で点 Q と異なる点を Q′ とする.次に答えよ.
(ⅰ) 直線 l の方程式を s を用いて表せ.
(ⅱ) 点 P′ の座標を s を用いて表せ.
(ⅲ) 点 P′ の x 座標を α , 点 Q′ の x 座標を β とする.曲線 C と x 軸,および 2 直線 x =α ,x =β で囲まれた図形の面積 S を s と t を用いて表せ.
(ⅳ) s と t が t =4⁢ s3+1 をみたすとき,(ⅲ)の面積 S の最小値を求めよ.
2011-10848-0204
【4】 a>0 とする.関数 f ⁡(x )=cos ⁡x-a ⁢x⁢sin ⁡x (0 ≦x≦ π 2 ) について,次に答えよ.
(ⅰ) 関数 f ⁡(x ) は区間 [0 , π2 ] で減少することを示せ.
(ⅱ) 方程式 f ⁡(x )=0 は 0 <x< π 2 の範囲にただ 1 つの解をもつことを示せ.
(ⅲ) (ⅱ)における解が π4 のとき,定積分 ∫0 π4 f⁡( x)⁢ dx を求めよ.
2011-10848-0205
情報工学部
配点100点
【1】 実数 p , q は q <p2 をみたすとする.点 C ( p,q ) から放物線 y =x2 に 2 本の接線を引き,それぞれの接点を A ,B とする.ただし, A の x 座標は B の x 座標より大きいとする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) A と B の座標をそれぞれ p と q を用いて表せ.
(ⅱ) A と B を通る直線の方程式を p と q を用いて表せ.
(ⅲ) ∠ABC の面積 S を p と q を用いて表せ.
(ⅳ) C が円 x2+ (y +2) 2= r2 上を動くとき, ▵ABC の面積 S が最大となる C の座標とそのときの面積 S をそれぞれ r を用いて表せ.ただし, 0<r <2 とする.
2011-10848-0206
【2】 中心 P が ( 0,1 ) にある半径 1 の円を図のように x 軸上を x の正方向にすべらないように転がす.円が回転した角を θ ( 0≦ θ≦π ) とし, θ=0 のとき,円上の定点 Q が原点 O と重なっているとする.また, P を通り y に平行な直線と Q を通り x 軸に平行な直線の交点を R とする. θ が 0 から π までの円の回転によって Q , R が描く曲線をそれぞれ C1 ,C2 とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) Q , R の座標をそれぞれ θ を用いて表せ.
(ⅱ) Q における C 1 の接線の傾きを θ を用いて表せ.ただし, 0<θ <π とする.
(ⅲ) C1 と C 2 で囲まれる部分の面積を求めよ.
2011-10848-0207
【3】 複素数 ω1= a1+ b1⁢ i は ( ω1 )3 =1 をみたすとする.ただし, a1 , b1 は実数で b1> 0, i は虚数単位を表す.この a 1 と b 1 を用いて,実数 a k と b k ( k≧2 ) を漸化式
ak= ak-1 +1 ( ak- 1+1 )2 +( bk- 1) 2 , bk = bk-1 ( ak-1 +1) 2+ (b k-1 )2
で定め,複素数 ω k を ωk= ak+ bk⁢ i で定める.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 複素数 ω 1 を求めよ.
(ⅱ) ( a1) 2+ (b 1) 2 の値を求めよ.
(ⅲ) ( ak) 2+ (b k) 2 ( k≧2 ) の値を求めよ.
(ⅳ) ( ωk )2 =ωk -1 ( k≧ 2 ) であることを示せ.
(ⅴ) ( ω4 )24 =1 であることを示せ.
(ⅵ) 複素数 ω 4 を求めよ.
2011-10848-0208
【4】 n 枚( n ≧3 )のカードにそれぞれ 1 から n までの数が一つずつ書かれている.この中から 3 枚のカードを無作為に取り出し,取り出されたカードに書かれた数を大きい方から順に X ,Y , Z とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) n=7 であるとき, X=5 となる確率, Y=5 となる確率, Z=5 となる確率をそれぞれ求めよ.
(ⅱ) 1≦k ≦n である整数 k に対して, X≦k となる確率を k と n を用いて表せ.
(ⅲ) 1≦k ≦n である整数 k に対して, Z≦k となる確率を k と n を用いて表せ.
(ⅳ) 1≦k ≦n である整数 k に対して, X=k となる確率を k と n を用いて表せ.