2011　九州工業大学　後期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の自然数とする．サイコロを$n$回投げるとき，$1$の目がちょうど$3$回出る確率を$p_n$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$p_4$を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}>\mathrm{１}$をみたす$n$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　$p_n$が最大となるときの$n$をすべて求めよ．

(ⅳ)　$n{p}_n$が最大となるときの$n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{6},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$がある．$0<t<1$とし，線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}(t,0,0)$をとり，線分$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{Q}(0,0,t)$をとる．また，線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{R}(0,\sqrt{6}(1-t),t)$をとり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{S}(t,\sqrt{6}(1-t),0)$をとる．次に答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{PQRS}$の面積を$f(t)$とする．$f(t)$が最大になるときの$t$の値を求めよ．

(ⅲ)　$t$を(ⅱ)で求めた値とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta$を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上に点$\mathrm{P}(s,{\displaystyle \frac{1}{s}})\text{，}\mathrm{Q}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{（}0<s<t\text{）}$がある．曲線$C$の点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における法線をそれぞれ$l\text{，}m$とする．直線$l$と曲線$C$の交点で点$\mathrm{P}$と異なる点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とし，直線$m$と曲線$C$の交点で点$\mathrm{Q}$と異なる点を${\mathrm{Q}}^{\prime }$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　直線$l$の方程式を$s$を用いて表せ．

(ⅱ)　点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を$s$を用いて表せ．

(ⅲ)　点${\mathrm{P}}^{\prime }$の$x$座標を$\alpha \text{，}$点${\mathrm{Q}}^{\prime }$の$x$座標を$\beta$とする．曲線$C$と$x$軸，および$2$直線$x=\alpha \text{，}x=\beta$で囲まれた図形の面積$S$を$s$と$t$を用いて表せ．

(ⅳ)　$s$と$t$が$t=4s^3+1$をみたすとき，(ⅲ)の面積$S$の最小値を求めよ．

【４】　$a>0$とする．関数$f(x)=\cos x-ax\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次に答えよ．

(ⅰ)　関数$f(x)$は区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$で減少することを示せ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$は$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にただ$1$つの解をもつことを示せ．

(ⅲ)　(ⅱ)における解が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(x)dx$を求めよ．

【１】　実数$p\text{，}q$は$q<p^2$をみたすとする．点$\mathrm{C}(p,q)$から放物線$y=x^2$に$2$本の接線を引き，それぞれの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より大きいとする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$p$と$q$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を$p$と$q$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\angle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$p$と$q$を用いて表せ．

(ⅳ)　$C$が円$x^2+{(y+2)}^2=r^2$上を動くとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$が最大となる$\mathrm{C}$の座標とそのときの面積$S$をそれぞれ$r$を用いて表せ．ただし，$0<r<2$とする．

【２】　中心$\mathrm{P}$が$(0,1)$にある半径$1$の円を図のように$x$軸上を$x$の正方向にすべらないように転がす．円が回転した角を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とし，$\theta =0$のとき，円上の定点$\mathrm{Q}$が原点$\mathrm{O}$と重なっているとする．また，$\mathrm{P}$を通り$y$に平行な直線と$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線の交点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$0$から$\pi$までの円の回転によって$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が描く曲線をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線の傾きを$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

(ⅲ)　$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　複素数${\omega }_1=a_1+b_{1}i$は${({\omega }_1)}^3=1$をみたすとする．ただし，$a_1\text{，}{b}_1$は実数で$b_1>0\text{，}i$は虚数単位を表す．この$a_1$と$b_1$を用いて，実数$a_k$と$b_k\text{（}k\geqq 2\text{）}$を漸化式

$a_k={\displaystyle \frac{a_{k-1}+1}{\sqrt{{(a_{k-1}+1)}^2+{(b_{k-1})}^2}}}\text{，}{b}_k={\displaystyle \frac{b_{k-1}}{\sqrt{{(a_{k-1}+1)}^2+{(b_{k-1})}^2}}}$

で定め，複素数${\omega }_k$を${\omega }_k=a_k+b_{k}i$で定める．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　複素数${\omega }_1$を求めよ．

(ⅱ)　${(a_1)}^2+{(b_1)}^2$の値を求めよ．

(ⅲ)　${(a_k)}^2+{(b_k)}^2\text{（}k\geqq 2\text{）}$の値を求めよ．

(ⅳ)　${({\omega }_k)}^2={\omega }_{k-1}\text{（}k\geqq 2\text{）}$であることを示せ．

(ⅴ)　${({\omega }_4)}^{24}=1$であることを示せ．

(ⅵ)　複素数${\omega }_4$を求めよ．

【４】　$n$枚（$n\geqq 3$）のカードにそれぞれ$1$から$n$までの数が一つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを無作為に取り出し，取り出されたカードに書かれた数を大きい方から順に$X\text{，}Y\text{，}Z$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$n=7$であるとき，$X=5$となる確率，$Y=5$となる確率，$Z=5$となる確率をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$1\leqq k\leqq n$である整数$k$に対して，$X\leqq k$となる確率を$k$と$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$1\leqq k\leqq n$である整数$k$に対して，$Z\leqq k$となる確率を$k$と$n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$1\leqq k\leqq n$である整数$k$に対して，$X=k$となる確率を$k$と$n$を用いて表せ．