2011　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$k$を実数とし，曲線$C_1:y=1-x^2$と曲線$C_2:y=x^2-2kx+k^2$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$k$のとり得る値の範囲を求めなさい．

(2)　$k$の値が変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の軌跡を図示しなさい．

(3)　(2)の軌跡と$C_1$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【２】　関数$y=8^x-3\cdot 2^x$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$y$の値が$0$となる$x$の値を求めなさい．

(2)　$y$の最小値と，$y$の最小値を与える$x$の値を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に座標が正である点${\mathrm{P}}_1$をとり，$\angle \mathrm{OA}{\mathrm{P}}_1=\theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点${\mathrm{P}}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標を$r_1\text{，}{r}_2\text{，}\theta$でそれぞれ表しなさい．

(2)　$r_1+r_2<2$とする．${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．

(3)　(2)の条件のもとで$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積を$r_1\text{，}{r}_2$で表しなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．

$a_n=(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})(1-{\displaystyle \frac{1}{9}})(1-{\displaystyle \frac{1}{16}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{{(n+1)}^2}})$

　このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．

(2)　$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．

(3)　$a_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{100}{n^2}}$をみたす最小の$n$を求めなさい．

【１】　$f(x)=\log x-2x+1\text{（}x>0\text{）}$とする．$a$を正の定数とし，$t$は$0<t<a$をみたす実数とする．関数$y=f(x)$のグラフ上に$3$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を，それぞれの$x$座標が$a-t\text{，}a\text{，}a+t$となるようにとる．以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　点$\mathrm{R}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を求めなさい．

(3)　四角形$\mathrm{APRQ}$の面積$S(t)$を求めなさい．

(4)　$\underset{t\to -0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t^3}}$を求めなさい．

【２】　座標空間の$3$点$\mathrm{A}(1,2,2)\text{，}\mathrm{B}(2,1,1)\text{，}\mathrm{C}(2,4,2)$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{D}(0,2,1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,1,1)$に平行な直線を$l_1$とする．また点$\mathrm{D}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,-1,1)$に平行な直線を$l_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$l_1$と$\alpha$の交点を$\mathrm{E}$とし，$l_2$と$\alpha$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の座標を求めなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

(3)　$▵\mathrm{DEF}$の面積を求めなさい．

【３】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$t$の$2$次方程式

$t^2-(a+d)t+ad-bc=0\cdots$(＊)

が異なる$2$つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．

(2)　(＊)の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，

$(A-\beta E)\left(\begin{array}{c}b\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(3)　(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．

【１】　$a$を実数とする．関数$f(x)=\sin x+a{\cos }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a=1$とするとき，$0\leqq x\leqq 2\pi$における$f(x)$の増減と極値を調べて，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$f(x)$の極値をあたえる$x$が$0<x<\pi$の範囲に$1$個だけ存在するための$a$についての必要十分条件を求めなさい．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次の漸化式で与えられているとする．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=4\text{，}{b}_1=3& \\ a_{n+1}=4a_n-3b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=3a_n+4b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

　このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$を求めなさい．

(2)　$a_{n+4}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\text{，}{b}_{n+4}-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい．

(3)　$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$も$b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，答のみでなく，理由も述べなさい．

(1)　赤，白，黒の玉がそれぞれ$3$個ずつあり，一列に並べるものとする．合計$9$個の玉の並べ方は何通りあるか求めなさい．なお，同じ色の玉は区別しないものとする．

(2)　(1)の並べ方のうちで，先頭の$3$個の玉が同じ色であるか，末尾の$3$個の玉が同じ色であるか，少なくとも一方が成り立つ並べ方は何通りあるか求めなさい．

(3)　空間において座標$(x,y,z)$にある点$\mathrm{P}$を$1$回の操作で$(x+1,y,z)\text{，}(x,y+1,z)\text{，}(x,y,z+1)$のいずれかを選んでその座標に移動させる．最初に$(0,0,0)$にある点$\mathrm{P}$を，$9$回の操作で$(3,3,3)$に移動させる選び方のうち，$(3,0,0)\text{，}(0,3,0)\text{，}(0,0,3)\text{，}(3,3,0)\text{，}(3,0,3)\text{，}(0,3,3)$のいずれも経由しないものは何通りあるか求めなさい．