2011　首都大学東京　後期MathJax

【１】　$a\text{，}c$は実数で$a>1$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}{a}^{-1}& a^{-1}c\\ 0& a\end{array}\right)$を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& a^{-n}{q}_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$とおくとき，$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_r\text{，}{s}_n$を求めなさい．

(2)　$c=1-a^2$とする．すべての$n$に対し$a^{-n}{q}_n=2^{-n}-2^n$が成り立つような$a$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$x$に対して，定積分

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}t\sin (x+\pi t)dt$

を求めなさい．

(2)　関数$f(x)$の最大値を求めなさい．

【３】　$0\leqq t\leqq 2$とし，図のような$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=t$となるようにとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(t)$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(t)$を求めなさい．

(2)　$f(t)$の最小値を求めなさい．

(3)　$f(t)$が最小となるときの$▵\mathrm{FPQ}$の面積$S$を求めなさい．

(4)　$▵\mathrm{FPQ}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{B}$から$\alpha$へ下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{R}$とする．$f(t)$が最小となるときの線分$\mathrm{BR}$の長さを求めなさい．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$をみたす異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$を通る直線が線分$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}<\mathrm{AO}$が成り立っているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{P}$は$\mathrm{BC}$の中点となることを示しなさい．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S(\theta )$を求めなさい．

(3)　$\underset{\theta \to \pi -0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(\theta )}{{(\pi -\theta )}^2}}$を求めなさい．