2011　横浜市立大　前期理学系論文MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

　$a\text{，}b$を実数とするとき

$S=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\text{，}N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

とおく．

(ア)　$SN=NS$が成り立つ条件を求めよ．

(イ)　各自然数$n$に対して

${(S+N)}^n=S^n+x_{n}N$

が成り立つような実数$x_n$が存在することを証明せよ．

(ウ)　(イ)において$x_2$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(エ)　$a=b$のとき${(S+N)}^n$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(ア)　曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$は次式を用いて計算できる．

$V=\pi {\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^{2}dx$

　この式が成り立つ理由をわかりやすく説明しなさい．

(イ)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を使って，右図のようにワインボトルに$\stackrel{\text{せん}}{\text{栓}}$をしたい．このとき，ワインボトルに入り込んだ部分の回転体の体積を求めよ．

　ただし，

・ワインボトルの口は半径$1$の円

・ワインボトルの長さは回転体よりも十分に長い

・回転体は長軸方向からまっすぐワインボトルに入れる

・ワインボトルと回転体は変形しない

とする．