2011　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　一辺の長さが$1$の立方体がある．その頂点から無作為に相異なる$3$つを選んでできる三角形について次の問いに答えよ．

(1)　互いに合同な三角形は何通りできるか．

(2)　正三角形となる確率を求めよ．

(3)　三角形の面積の期待値を求めよ．

【２】　定数$m>0$に対し，$3$つの直線$y=2m^{2}x\text{，}y=-2m^{2}x\text{，}y=m$で囲まれた三角形を$T$とする．$T$の$2$辺と接するような放物線$y=a{x}^2+b$を考える．

(1)　$b$を$a$と$m$で表せ．

(2)　この三角形$T$から放物線$y=a{x}^2+b$の上側の領域を除いた部分の面積$S$を$a$と$m$で表せ．

(3)　$m$は固定したままで，$a$の値を変化させたとき，$S$が最小となるような$a$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

（編注）2003年お茶の水女子大学前期理学部選択理学部数学専門A2【２】を改変して活用

【３】　数列$\{x_n\text{：}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \}$を次のように定義する．初項$x_1$は$|x_1-\pi |\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を満たす実数とする．曲線$y=\sin x$上の点$(x_n,\sin x_n)$におけるこの曲線の接線と$x$軸との交点を$(x_{n+1},0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_{n+1}$と$x_n$の関係式を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$|x_n-\pi |\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$が成り立つことを示せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．