2011　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,q)$は$p^2+q^2>1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

問１　${(a-p)}^2=p^2-1$であることを示せ．

問２　$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．

【２】　座標空間を運動する$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の時刻$t$における座標をそれぞれ$(t,0,t)\text{，}(\sqrt{2}t,1-2t,\sqrt{2}(1-t))\text{，}(-t,-\sqrt{2}t,t)$とする．原点を$\mathrm{O}$と記すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ．

問２　$▵\mathrm{OAB}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ．

問３　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$における最大値を求めよ．

【３】　$s\text{，}t$を実数とし，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{P}(0,t)\text{，}\mathrm{Q}(s,t)$を考える．次の問いに答えよ．

問１　不等式$\sqrt{{(1+s)}^2+t^2}\geqq {\displaystyle \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}}$が成り立つことを示せ．

問２　不等式$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\leqq \mathrm{QA}+\mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．

【４】　$N\text{，}a\text{，}b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N+2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$p={\displaystyle \frac{a}{a+b}}\text{，}q={\displaystyle \frac{b}{a+b}}\text{，}r=pq$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$P(2j)\text{，}P(2j+1)\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$および$P(2N+2)$を$r$を用いて表せ．

問２　偶数回取り出して終わる確率$Q={\displaystyle \sum _{j=1}^{N+1}}P(2j)$について，$Q>{\displaystyle \frac{1-2r}{1-r}}$となることを示せ．

【１】　$a$は実数で$0<a<1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と$2$直線$y=x\text{，}y=ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

問２　$2S\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)\leqq S(a)\leqq 2S\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)+1$となる$a$の範囲を求めよ．

問３　$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\underset{a\to 0}{\lim }V(a)$を求めよ．

【２】　実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}b& 1\\ 0& b\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ p& q\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

問１　$n$を正の整数とするとき，$B^n$を求めよ．

問２　$AB=PB$が成り立つように，$b\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．

問３　$n$を正の整数とするとき，$A^n$を求めよ．

【３】　$p\text{，}q$は正の実数で$p>q$とする．$x>0$において，$2$つの関数

$f(x)=e^{px}+e^{-px}\text{，}g(x)=e^{qx}+e^{-qx}$

を考える．次の問いに答えよ．

問１　$f(x)>2$を示せ．

問２　$f(x)>g(x)$を示せ．

問３　$h(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)}{f(x)-g(x)}}$とするとき，$h(x)$は$x>0$において単調減少であることを示せ．

【４】　$N\text{，}a\text{，}b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N+2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$p={\displaystyle \frac{a}{a+b}}\text{，}q={\displaystyle \frac{b}{a+b}}\text{，}r=pq$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$P(2j)\text{，}P(2j+1)\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$および$P(2N+2)$を$r$を用いて表せ．

問２　$(1-r){\displaystyle \sum _{j=1}^N}j{r}^{j-1}={\displaystyle \frac{1-r^N}{1-r}}-N{r}^N$を示せ．

問３　取り出す回数の期待値$m={\displaystyle \sum _{n=2}^{2N+2}}nP(n)$について，$m<{\displaystyle \frac{2+r}{1-r}}$となることを示せ．

問４　上の期待値$m$について，$m<3$を示せ．