2011　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　不定積分

$I_1={\displaystyle \int }\log xdx\text{，}{I}_2={\displaystyle \int }{(\log x)}^{2}dx$

をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．

(2)　$2$曲線$y=\log (x+1)\text{，}y=\log 2x$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

　（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OCQ}$の面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　直線$l$と$x$軸との交点を$(x_1,0)$とするとき，$x_1$を$x_0\text{，}{y}_0$を用いて表せ．

(2)　$x_0=\cos \theta \text{，}{y}_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$l$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta )$の最大値を求めよ．

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$B=A+t\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

とする．ただし，$t$は$0$でない実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 1\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 1\end{array}\right)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ．

(2)　$B\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ 1\end{array}\right)=k_2\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ 1\end{array}\right)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ．ただし，$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする．

(3)　$n$を自然数とする．(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して，$B^n\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ 1& 1\end{array}\right)$を$t$と$n$を用いて表せ．

(4)　自然数$n$に対して，$B^n$の$(1,1)$成分を$b_n(t)$とするとき，$\underset{t\to 0}{\lim }{b}_n(t)$を$n$を用いて表せ．

　（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$f(x)=e^{ax}{\displaystyle {\int }_0^x}|\cos (x-t)|dt$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底とし，$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$を満たす$x$に対して，

$I(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|\cos (x-t)|dx$

を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が区間$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が$2$つの区間$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$のどちらの区間においても極大値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．