2011　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　袋の中に赤，白，青，黒の色の球がそれぞれ$5$個ずつ合計$20$個入っている．その袋から$9$個の球を同時に取り出す．取り出された球の中に同じ色の球が$5$個入っているときのみ，色に応じて得点を与え，それ以外の場合の得点は$0$点である．$5$個そろった球の色が赤なら得点は$900$点，白なら$2020$点，青なら$4000$点，黒なら$6000$点とする．得点の期待値を求めよ．

【２】　不等式

${\log }_{7}x-3{\log }_x(7x)\leqq -1$

を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　不等式

${(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})}^n\geqq 3$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　不等式

${(n+1)}^{n-1}{(n+2)}^n\geqq 3^n{(n!)}^2$

が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3a{x}^2+a+b=0$が$3$個の相異なる実数解をもち，そのうち$1$個だけが負となるための$a\text{，}b$の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,b)$の存在する領域を平面上に図示せよ．