2011　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】

(1)　$x$の整式$f(x)\text{，}g(x)$について，次の$2$つの恒等式が成り立つ．

$(x+2)f(x^2)=x^2\{f(x)+7\}-3x-6$

$g(x)=f(2x)(x^2+3)-4x+9$

$\text{(ⅰ)}$　$f(10)$の値は$\boxed{\text{(1)(2)}}$である．

$\text{(ⅱ)}$　$g(x)$を$x+\sqrt{2}$で割るときの余りは$\boxed{\text{(3)(4)}}-\boxed{\text{(5)(6)}}\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}$である．

【１】

(2)　$x>0\text{，}y>0\text{，}z>0$であり，$xy{z}^3=1000\text{，}{x}^{2}yz=10$が成り立つとき，$L=({\log }_{10}y)({\log }_{10}x+6)$とおく．

$\text{(ⅰ)}$　$L=-40$のとき，$z$の値は${10}^{\boxed{\text{(8)(9)}}}$または${10}^{\boxed{\text{(10)}}}$である．

$\text{(ⅱ)}$　$L$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(11)(12)}}}{\boxed{\text{(13)}}}}$である．

【１】

(3)　直線$\text{①}$と$2$つの放物線$\text{②}\text{，}\text{③}$がある．

$y=x+m$（$m$は定数）$\cdots \text{①}$

$y=x^2+12x+20\cdots \text{②}$

$y=-x^2+14x-40\cdots \text{③}$

$\text{①}$と$\text{②}$が異なる$2$点が交わり，$\text{①}$と$\text{③}$も異なる$2$点で交わるとき，

$\text{(ⅰ)}$　$m$の値の範囲は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)(15)(16)}}}{\boxed{\text{(17)}}}}<m<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}}}}$である．

$\text{(ⅱ)}$　$\text{①}$と$\text{②}$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$\text{①}$と$\text{③}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$が等しいとき，

$S_1=S_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)(21)(22)}}}{\boxed{\text{(23)}}}}$

である．

【１】

(4)　$xy$平面上で，不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \sin (x+y)\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を同時に満たす点$(x,y)$全体の集合を領域$D$とする．

$\text{(ⅰ)}$　領域$D$の面積は${\displaystyle \frac{{\pi }^{\boxed{\text{(24)}}}}{\boxed{\text{(25)(26)}}}}$である．

$\text{(ⅱ)}$　点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$の中を動くとき，$3{\sin }^2({\displaystyle \frac{x}{2}}+y)+{\cos }^2({\displaystyle \frac{x}{2}}+y)+\sqrt{3}\sin (x+2y)+2$の最大値は$\boxed{\text{(27)}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{(28)}}$である．

【１】

(5)　数列$\{a_n\}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$がある．この数列$\{a_n\}$を初めから$1$個，$2$個，$3$個，$\cdots$と下記のように区画に分ける．

${\displaystyle \frac{1}{8}}\left|{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\right|{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\left|{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\right|{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}2|\cdots$

このとき，初めから第$k$番目の区画は，初項${\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}$公比$2$の等比数列の初項から第$k$項までの数列である．ただし$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$とする．

$\text{(ⅰ)}$　$a_n=2^{30}$となる最小の$n$の値は$\boxed{\text{(29)(30)(31)}}$である．

$\text{(ⅱ)}$　数列$\{a_n\}$の第$135$項は$2^{\boxed{\text{(32)(33)}}}$である．

【２】　$xy$平面上に，円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$と，その円上を動く点$\mathrm{P}(x,y)$がある．$x+y=t$とおくとき，

(1)　$t$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{(34)}}-\boxed{\text{(35)}}\sqrt{\boxed{\text{(36)}}}\leqq t\leqq \boxed{\text{(37)}}+\boxed{\text{(38)}}\sqrt{\boxed{\text{(39)}}}$である．

(2)　$xy$を$t$の式で表すと，$xy={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}{t}^2-\boxed{\text{(42)}}t-\boxed{\text{(43)}}$である．

(3)　$x^3+y^3$のとりうる値の範囲は，

$\boxed{\text{(44)(45)}}-\boxed{\text{(46)}}\sqrt{\boxed{\text{(47)}}}\leqq x^3+y^3\leqq \boxed{\text{(48)(49)}}+\boxed{\text{(50)}}\sqrt{\boxed{\text{(51)}}}$

である．

【３】　「$3$個のさいころを同時に投げる」試行を$\mathrm{T}$とおき，試行$\mathrm{T}$において，「$3$個のさいころの目の和が，$6\text{，}9\text{，}12$のいずれかである」事象を$A$とおく．試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して行うとき，事象$A$が奇数回起こる確率を$p_n\text{，}$偶数回（$0$回も含む）起こる確率$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数である．

(1)　試行$\mathrm{T}$を$1$回行うとき，事象$A$が起こる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)(54)}}}}$である．

(2)　$p_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(55)(56)}}}{\boxed{\text{(57)(58)(59)}}}}\text{，}{q}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(60)(61)}}}{\boxed{\text{(62)(63)(64)}}}}$である．

(3)　$p_n>0.4995$となる最小の$n$の値は$\boxed{\text{(65)}}$である．

　ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【４】　点$\mathrm{O}$を中心とする扇形$\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=3\text{，}\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$である．

　線分$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OC}=2$である点$\mathrm{C}$をとる．弧$\mathrm{AB}$上（$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を除く）に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(66)}}}}{\boxed{\text{(67)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(68)}}\sqrt{\boxed{\text{(69)}}}}{\boxed{\text{(70)}}}}\overrightarrow{c}$である．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$が最小のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(71)}}}{\boxed{\text{(72)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(73)}}}{\boxed{\text{(74)}}}}\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(75)(76)}}}}{\boxed{\text{(77)(78)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(79)}}\sqrt{\boxed{\text{(80)(81)}}}}{\boxed{\text{(82)}}}}\overrightarrow{c}$である．

(3)　$▵\mathrm{OAP}$の面積が${\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(83)(84)(85)}}}{\boxed{\text{(86)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(87)}}\sqrt{\boxed{\text{(88)(89)}}}}{\boxed{\text{(90)}}}}$である．