2011　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　男子$4$人と女子$3$人が$1$列に並ぶとき，両端が男子である並び方は全部で$\boxed{\text{(ア)}}$通りある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$6\leqq {\log }_{2}n<8$と$5\leqq {\log }_{3}n<6$の両方をともに満たす自然数$n$は全部で$\boxed{\text{(イ)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}}$とし，$\beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}}$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき${\alpha }^3+{\beta }^3=\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　多項式$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ると$4x-3$余り，$(x-2)(x+2)$で割ると$3x+5$余る．このとき，$P(x)$を$(x+1)(x+2)$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　点$(2,-4)$を通り，円$x^2+y^2=10$に接する直線は$2$本ある．この$2$本の直線のうち，傾きが正である方の直線の方程式は$y=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=8\text{，}\angle A=60\mathrm{°}$であるとする．このとき$\mathrm{BC}=\boxed{\text{(カ)}}$である．また，この三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，出る目の最小値が$2$以上である確率は$\boxed{\text{(ク)}}$であり，出る目の最小値がちょうど$2$である確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

この数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{(コ)}}$である．また，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{(サ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$において，方程式$\sin 3\theta -\sin 2\theta +\sin \theta =0$を満たす$\theta$は全部で$\boxed{\text{(シ)}}$個あり，このうち最大のものは$\theta =\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　関数$f(x)=2x^3+9x^2+6x-1$は$x=\boxed{\text{(セ)}}$で極小値$\boxed{\text{(ソ)}}$をとる．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AD}=5$であるとし，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BM}$が成り立っているとする．

　このとき$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{(タ)}}$と表すことができ，同様に$\overrightarrow{\mathrm{BM}}$も$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\boxed{\text{(チ)}}$と表すことができる．これより$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{(ツ)}}$であることがわかる．

　よって，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=\boxed{\text{(テ)}}$であり，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{(ト)}}$であることがわかる．

【４】　$a$を実数として，次の$2$次不等式について考える．

$x^2-ax+(a-1)\leqq 0\cdots \text{①}$

　以下の問いに答えなさい．

(1)　不等式$\text{①}$を満たす整数$x$の個数がちょうど$3$個であるような実数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　不等式$\text{①}$を満たす整数$x$の個数を$N(a)$で表すことになる．

　$a$が整数のとき，$N(a)$を$a$を用いて表しなさい．（必要ならば，$a$の値の範囲で場合分けをして答えてもよい．）

【５】　$f(x)=-(x+1)|x-4|+6$とし，$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$とする．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$F(x)$を計算しなさい．

(3)　$0\leqq x\leqq 6$における関数$F(x)$の最大値を求めなさい．