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2011 慶応義塾大学 経済学部

2月17日実施

易□ 並□ 難□

【1】  a b を実数の定数とする. x 2 次関数 f (x )

f( x)= x2+ ax+ b

で定め,

F( x)= 0x f( t) dt

とおく.

(1) 関数 F (x ) は極値をとらないとする. b 14 のとき, a のとりうる値の範囲は (1) (2) a (3) (4) である.このときの f ( x) に対し, F( 1) のとりうる値の最小値は (5) (6) (7) (8) であり,最大値は (9) (10) (11) (12) となる.

(2) 関数 F (x ) x= α で極大になり, x=β で極小になるとする. 0<β -α 13 が成り立つような f (x ) のうち, b が最小になるものは

f( x)= x2+ (13) x+ (14) (15) (16) (17)

である.

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2月17日実施

易□ 並□ 難□

【2】 三角形 OAB の重心を C とすると,ベクトル OC

OC = (18) (19) OA + (20) (21) OB

と表される.線分 OC の中点を D OA の中点を E とする.直線 AD と直線 BE の交点を F とする.このとき OF

OF = (22) (23) OA + (24) (25) OB

と表される.

 さらに,辺 OB の中点を G 直線 BD と直線 AG の交点を H とする.線分 AB と線分 FH の長さの比は

FH AB= (26) (27)

となる.三角形 OAB の面積を S 1 三角形 OFH の面積を S 2 とすると,

S 2S1 = (28) (29) (30) (31)

となる.

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2月17日実施

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【3】  1 から 4 までの数字がひとつずつ書かれたカードが,各 3 枚ずつ合計 12 枚ある.

(1) この 12 枚から 3 枚のカードを取り出して並べ, 3 桁の整数を作る.このようにして得られる整数は全部で (32) (33) (34) 通りある.

(2) この 12 枚から 5 枚のカードを取り出して並べ, 5 桁の整数を作る.このようにして得られる整数は全部で (35) (36) (37) 通りある.

(3) この 12 枚のカードを箱に入れてよくかき混ぜ,そこから 1 枚を取り出し,書かれている数字を記録してからカードを箱に戻す.この操作を 5 回繰り返して得られる 5 個の数字の中に 1 がちょうど 2 個含まれる確率は (38) (39) (40) (41) (42) (43) である.また,このようにして得られる 5 個の数字を記録した順に並べて得られる 5 桁の整数は全部で (44) (45) (46) (47) 通りあり,そのうち 5 個の数字の中に 1 がちょうど 2 個含まれる整数は (48) (49) (50) (51) 通りある.

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【4】 以下の条件をみたす実数 x の値の範囲をそれぞれ求めよ.

(1)  x2+ xy+ y2= 1 をみたす実数 y が存在する.

(2)  x2+ xy+ y2= 1 をみたす正の実数 y が存在しない.

(3) すべての実数 y に対して x 2+x y+ y2> x+y が成り立つ.

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2月17日実施

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【5】 数列 { an} { bn }

an= n3 n Cn 100 n= 1 2 100

bn= n2 2 n Cn 100 n= 1 2 100

によって定める.ただし, Cn 100 は異なる 100 個のものから n 個取り出す組み合わせの総数を表す.

(1)  a n+1 an n=1 2 99 n のなるべく簡単な式で表せ.

(2)  an が最大になるような n をすべて求めよ.

(3)  b n+1 bn n =1 2 99 n のなるべく簡単な式で表せ.

(4)  bn が最大になるような n をすべて求めよ.

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2月17日実施

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【6】 実数全体を定義域とする関数 f (x )

f( x)= 3 x -1x ( t+| t| ) (t+ |t |- 1) dt

によって定める.

(1)  f( x) x の値について場合分けをして, x の多項式で表せ.

(2) 座標平面上に y =f( x) のグラフをかけ.

(3)  x がすべての実数を動くときの f (x ) の最小値を求めよ.

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